Se estremece útiles en el exterior de la Teoría de la Representación?

Question

Hola A Todos!

Hay una tendencia, para algunas personas, el estudio de las representaciones de aljabas. La configuración del problema sin duda es natural, pero las representaciones de aljabas están presentes en la literatura desde hace ya más de 40 años.

Hay conexiones de esta tendencia con otros Matemáticas? Por que, parece que es un auto-contenidos tema y, básicamente, me pregunto por qué la gente de estudio tiembla demasiado, en un sentido, todo se vuelve claro después de los primeros resultados de Gabriel y la vieja resultado de Yuri Drozd sobre el wild/tame dicotomía, y estas cosas deben llegar a ser aburrido.

Por CIERTO, sobre la dicotomía teorema -- ¿es realmente necesario el estudio tan difícil de saber si un determinado problema es de domar o salvaje (representación) tipo? En particular, ¿por qué algunas personas tratan de levantar tame/cosas salvajes a las curvas y superficies-sería que realmente rinden algo interesante en la geometría?

(Actualmente estoy asistiendo a conferencias acerca de estas cosas y por desgracia no se les dijo una sola palabra acerca de la motivación, y cuando traté de aprender del profesor si este es realmente el "top" de las Matemáticas como afirma, básicamente él respondió: "esto es importante porque estoy haciendo esto")

Answer 1

Como el Ritmo de Nielsen ya publicado, la fuerza de la aljaba de la teoría es fácil ejemplos y contraejemplos.

Las primeras aplicaciones son, por supuesto, dentro de la teoría de la representación y el anillo de la teoría, ya que Gabriel del Teorema de los estados, que si usted tiene una propiedad de un número finito de dimensiones álgebra a través de una algebraicamente cerrado de campo que pueden ser detectados en la categoría de módulo, a continuación, basta con mirar la ruta de álgebras de aljabas (de las relaciones). Por ejemplo, para probar que un álgebra es salvaje, es suficiente para encontrar un subquiver (de las relaciones) que es conocido por ser salvaje; y hay varias listas de tales tiembla. Esto es útil en la teoría de representaciones de álgebras de Lie y grupos finitos.

No es la conexión con la Mentira de la teoría (y otras cosas que pueden ser clasificados a través de los diagramas de Dynkin) a través de la Sala de álgebra.

La teoría de clúster, que es un tema avanzado en la teoría de la representación de tiembla, tiene aplicaciones en la geometría.

Si usted está dada un álgebra, creo que es una pregunta natural es si es posible clasificar todas las indecomposable representaciones. Si esto es posible, usted puede trabajar en un parametrización y comprender mejor la categoría de módulo mediante el trabajo con la clasificación. La domar-wild dicotomía ayuda a usted no, contesta a la pregunta de si es posible. Si un álgebra es salvaje, no es posible clasificar todas las representaciones. Usted tiene que hacer otras preguntas.

Answer 2

Como se mencionó anteriormente, muchos de los módulos espacios tienen un carcaj a la descripción; uno de los más famosos el ejemplo está dado por Nakajima carcaj de variedades, que se define para cualquier aljaba (y sirven como el principal ejemplo de simpléctica complejo de variedades que son las resoluciones de una variedad afín), pero cuando el carcaj es afín a la de la aljaba de ADE tipo, se describen los módulos de espacios de torsión libre de poleas en los cocientes ${\mathbb C}^2/\Gamma$ donde $\Gamma$ es un subgrupo finito de $SL(2)$ (estos también son conocidos como ALE espacios). Estos módulos, los espacios son muy importantes en muchos lugares en las matemáticas y la física (teoría de gauge) y carcaj descripción es muy útil cuando usted desea abordar algunos de los problemas específicos relacionados con ellos.

Answer 3

Si usted está interesado en la teoría de la representación de finito dimensionales álgebras (incluidos grupos y álgebras de los bloques-y todo el mundo está interesado en las representaciones de los grupos, incluso si ellos no lo saben), considerando entonces tiembla (y obligado tiembla) es algo natural: todas las álgebras (hasta la adecuada equivalencia de relación relevante en el contexto de la teoría de la representación) son los cocientes de álgebras de caminos. Un inmenso número de no-finito dimensionales álgebras son también los cocientes de ruta de álgebras, demasiado.

Así que sea cual sea la motivación que han de estar interesados en las representaciones de finito dimensionales álgebras de inmediato se traslada a los tiembla y sus álgebras, además de la obvia ventaja que resulta extraordinariamente fácil construir ejemplos.

Más tarde. En cuanto a motivaciones concretas:

• Un ejemplo clásico es el de Kronecker-Wierstrass clasificación de la indecomposable representaciones de la aljaba $\bullet\rightrightarrows\bullet$ , motivado por la conjugación de la clasificación de ciertos sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Hay otro ejemplo, de la teoría de control, en Gabriel-Roiter del libro. Estoy bastante seguro de que estos dos ejemplos son reales, en que la falta de representación de la teoría de problema vino antes de la representationists tomó el relevo.

• Del mismo modo, todo el clúster de la explosión de los últimos 10 años debe ser un buen ejemplo de la teoría de la representación de aljabas y amigos y los métodos involucrados en ayudar a entender (y resolver, en muchos casos, los problemas en el exterior de la teoría. Por supuesto, aquí el origen de los problemas es también de la representación de la teoría de la naturaleza ---teoría de la Mentira--- pero de una forma bastante palpable sentido, esta es una muy diferente de la teoría.

Answer 4

La formación de la aljaba de álgebras es útil en el anillo de la teoría en los intentos de construir ejemplos y contra-ejemplos. A menudo se pueden clasificar cuando un temblor de álgebra tiene algún tipo de propiedad en términos de alguna propiedad intrínseca de la aljaba y, a continuación, encontrar ejemplos de lo contrario se reduce a la formación de un carcaj con una cierta fácil de ver la propiedad.

Answer 5

Hablando de aplicaciones industriales, la teoría de grafos es muy popular entre los hombres. Por ejemplo Facebook de la EdgeRank determina que ve lo que en el feed de noticias. Y neo4j es un popular (o al menos bien publicitada) gráfico de la base de datos, con gremlin un gráfico transversal lenguaje. LinkedIn tiene un equipo dedicado al "análisis de redes sociales" y los gráficos son en caliente, así como en "la teoría de la complejidad", incluyendo modelos del cerebro. Por ejemplo http://video.neo4j.org/RHqy/the-pathology-of-graph-databases-by-marko-a-rodriguez/ me dio una idea de cómo la web-programación de la multitud ve los gráficos.

No sé si alguno de los por encima de los intereses de usted, pero al menos fuera de las matemáticas puras creo que tiembla-como-dirigido-gráficos tienen aplicaciones prácticas.