En primer lugar vamos a fijar la terminología.
El espacio (1) se sabe en General de la Topología como la Golomb espacio. Más precisamente, el Golomb espacio de $\mathbb G$ es el conjunto $\mathbb N$ de los enteros positivos, dotado de la topología generada por la base que consta de progresiones aritméticas $a+b\mathbb N_0$ donde $a,b$ son relativamente primos números naturales y $\mathbb N_0=\{0\}\cup\mathbb N$.
Vamos a llamar el espacio (2) la racional proyectiva del espacio y se denota por
$\mathbb QP^\infty$.
Ambos espacios se $\mathbb G$ e $\mathbb QP^\infty$ son contables, conectado y Hausdorff, pero no son
homeomórficos. Una propiedad topológica distinguir estos espacios
ser llamado el oo-regularidad.
Definición. Un espacio topológico $X$ se llama oo-regular
si por cualquier no-vacío discontinuo abrir conjuntos de $U,V\subset X$ el subespacio $X\setminus(\bar U\cap\bar V)$ de $X$ es regular.
Teorema.
El racional espacio proyectivo $\mathbb QP^\infty$ es oo-regular.
El Golomb espacio de $\mathbb G$ no es oo-regular.
Prueba. La declaración 1 es relativamente fácil, por lo que se deja para el lector interesado.
La prueba de 2. En el Golomb espacio de $\mathbb G$ considerar dos básica abrir conjuntos de $U=1+5\mathbb N_0$ e $V=2+5\mathbb N_0$.
Se puede demostrar que $\bar U=U\cup 5\mathbb N$ e $\bar V=V\cup 5\mathbb N$, lo $\bar U\cap\bar V=5\mathbb N$.
Pretendemos que el subespacio
$X=\mathbb N\setminus (\bar U\cap\bar V)=\mathbb N\setminus 5\mathbb N$ de la Golomb espacio
no es regular.
Considerar el punto de $x=1$ y su vecindario $O_x=(1+4\mathbb N)\cap X$ en $X$.
Suponiendo que $X$ es regular, se puede encontrar un vecindario $U_x$ de $x$ en $X$ tales que
$\bar U_x\cap X\subset O_x$.
Podemos suponer que $U_x$ es de forma básica
$U_x=1+2^i5^jb\mathbb N_0$ para algunos $i\ge 2$, $j\ge 1$ e $b\in\mathbb N\setminus(2\mathbb N_0\cup 5\mathbb N_0)$.
Dado que los números $4$, $5^j$, e $b$ son relativamente primos, por el Teorema del resto Chino, la intersección $(1+5^j\mathbb N_0)\cap (2+4\mathbb N_0)\cap b\mathbb N_0$
contiene algún punto de $y$. Está claro que $y\in X\setminus O_x$.
Pretendemos que $y$ pertenece a la clausura de $U_x$ en $X$. Tenemos que comprobar que cada vecindario $O_y:=y+c\mathbb N_0$ de $y$ se cruza con el conjunto de $U_x$. La sustitución de $c$ por $5^jc$, podemos asumir que $c$ es divisible por $5^j$ y, por tanto, $c=5^jc'$ para algunos $c'\in\mathbb N_0$.
Observar que $O_y\cap U_x=(y+c\mathbb N_0)\cap(1+4^i5^jb\mathbb N_0)\ne\emptyset$ si y sólo si $y-1\in 4^i5^jb\mathbb N_0-5^jc'\mathbb N_0=5^j(4^ib\mathbb N_0-c'\mathbb N_0)$. La elección de $y\in 1+5^j\mathbb N_0$ garantiza que $y-1=5^jy'$. Desde $y\in 2\mathbb N_0\cap b\mathbb N_0$ e $c$ es primo relativo con $y$, el número de $c'=c/5^j$ es primo relativo con $4^ib$. Así que, por el Algoritmo de Euclides, hay números de $u,v\in\mathbb N_0$ tal que $y'=4^ibu-c'v$. A continuación, $y-1=5^jy'=5^j(4^ibu-c'v)$ y, por tanto, $1+4^i5^ju=y+5^jc'v\in (1+4^i5^jb\mathbb N_0)\cap(y+c\mathbb N_0)=U_x\cap U_y\ne\emptyset$. Así, $y\in\bar U_x\setminus O_x$, lo que contradice la elección de $U_x$.
Observación. Otro ejemplo bien conocido de una contables conectado espacio es el de Bing espacio de $\mathbb B$. Esta es la racional semiplano $\mathbb B=\{(x,y)\in\mathbb Q\times \mathbb Q:y\ge 0\}$ dotado de la topología generada por la base que consta de conjuntos $$U_{\varepsilon}(a,b)=
\{(a,b)\}\cup\{(x,0)\in\mathbb B:|x-(a-\sqrt{2}b)|<\varepsilon\}\cup
\{(x,0)\in\mathbb B:|x-(a+\sqrt{2}b)|<\varepsilon\}$$ where $(a,b)\in\mathbb B$ and $\varepsilon>0$.
Es fácil ver que el Bing espacio de $\mathbb B$ no es oo-regular, por lo que no es homeomórficos a la racional espacio proyectivo $\mathbb QP^\infty$.
Problema 1. Es el Bing espacio homeomórficos a la Golomb espacio?
Observación. Está claro que el Bing espacio tiene muchas homeomorphisms, distinta de la identidad.
Así, la respuesta al Problema 1 sería negativo si la respuesta al siguiente problema es afirmativa.
Problema 2. Es el Golomb espacio de $\mathbb G$ topológicamente rígido?
Problema 3. Es el Bing espacio topológicamente homogénea?
Desde los dos últimos problemas son muy interesantes voy a preguntar como cuestiones separadas en MathOverFlow.
Añadido en una edición. Problema 1 tiene solución negativa. El Golomb espacio y el Bing espacio no son homeomórficos desde
1) Para cualquier no-vacío abierto conjuntos de $U_1,\dots,U_n$ en el Golomb espacio (o en el racional del espacio proyectivo) la intersección $\bigcap_{i=1}^n\bar U_i$ no está vacío.
2) El Bing espacio contener tres no-vacío abierto conjuntos de $U_1,U_2,U_3$ tal que $\bigcap_{i=1}^3\bar U_i$ está vacía.
Añadido en una próxima edición. Problema 2 tiene una parcial solución afirmativa: 1 es un punto fijo de cualquier homeomorphism de $\mathbb G$. Esto implica que $\mathbb G$ no es homeomórficos a Bing espacio o el racional proyectiva del espacio (que no tienen un punto fijo).
Problema 3 tiene una solución afirmativa: el Bing espacio es topológicamente homogénea.
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Sólo para estar seguro de que entiendo el ejemplo (2): ¿sería lo mismo a partir de $\mathbb{Q}^\infty$ con la topología del producto; luego tomando el subespacio de secuencias con todas las coordenadas evanescentes menos finitas; luego el conjunto de todos los rayos en él con la topología del cociente?
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@Pietro: sí, es lo mismo (excepto el punto 0 aislado quizás)
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Perdón por el comentario tardío. Los espacios metrizables conectados no pueden ser contables. Esto significa que la esfera de dimensión infinita con coordenadas racionales no es metrizable. ¿Cómo es posible? Dos puntos cualesquiera se encuentran en algún $S^n$ y podemos definir la distancia entre ellos. ¿Por qué no es una función de distancia para esta topología?
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@Mihail ¡esto define otra topología!