Valores singulares de sumas de matrices

Question

Esta es una pregunta de seguimiento de este sobre los valores propios de las sumas de las matrices. Supongamos que se tienen matrices $A$ y $B$ y conocer sus valores singulares. ¿Qué puedes decir sobre los valores singulares de $A+B$ ?

Para las matrices hermitianas y los valores propios, esta pregunta fue respondida por un famoso teorema de Knutson y Tao pero no conozco nada similar para el caso más general de los valores singulares. Este resultado me habría sido útil para una estimación que necesitaba. Pude obtener la estimación de una manera diferente, pero ahora tengo curiosidad por la pregunta.

Answer 1

Los valores singulares de a $n \times m$ matriz A son más o menos los valores propios de la $n+m \times n+m$ matriz $\begin{pmatrix} 0 & A \\\ A^* & 0 \end{pmatrix}$ . Por "más o menos", quiero decir que también hay que añadir la negación de los valores singulares, así como algunos ceros. Usando esto, uno puede deducir desigualdades para los valores singulares a partir del problema de las matrices hermitianas. Esta puede ser incluso la lista completa de desigualdades, aunque no sé si ya se ha demostrado en la literatura.

Véase también la entrada de mi blog sobre este tema en

http://terrytao.wordpress.com/2010/01/12/254a-notes-3a-eigenvalues-and-sums-of-hermitian-matrices/

Answer 2

Hay muchos tipos de desigualdades que se pueden obtener: De hecho, la siguiente afirmación bastante general es válida:

Dejemos que $n,m \in \mathbb{N}$ y que $q=min(n,m)$ . Para cualquier norma $\| \cdot \|$ en $\mathbb{R}^q$ que es invariante bajo permutaciones con signo*, y dos reales cualesquiera $n \times m$ matrices $A,B$ : $$\|s_1(A+B),\dots,s_q(A+B) \|\le \|s_1(A),\dots,s_q(A) \| + \|s_1(B),\dots,s_q(B) \|$$

Esto se sostiene ya que se puede demostrar que cada norma de este tipo induce una norma ortogonalmente invariante en el espacio de $n \times m$ matrices de forma natural. (ver aquí para más detalles).

En particular, la cantidad $(s_1^p+\dots s_q^p)^{1/p}$ es subaditiva para cualquier $1 \le p \le \infty$ (como también mencionó Yemon Choi).

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*tal norma se denomina función gauge simétrica

Answer 3

Editar: como se señala más abajo en los comentarios, lo que escribí originalmente está mal. Intentaré volver más tarde y reparar esto, pero si alguien tiene una respuesta mejor antes de eso, puede que simplemente borre esta "respuesta".

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Desde el $k$ valor singular es la distancia a las matrices de rango $\leq k-1$ , uno tiene claramente $s_k(A+B)\leq s_k(A)+s_k(B)$ . Esto debería ser agudo en el sentido de que uno debería ser capaz de encontrar matrices $A$ y $B$ donde la igualdad se alcanza para todos los valores singulares $s_1,s_2,\dots$ (y los ejemplos pueden ser positivos y de desplazamiento, creo, pero no he pensado demasiado en esto).

En cuanto a tratar de encontrar desigualdades en la otra dirección, creo que tomar $A=-B$ mata los intentos más ingenuos.

Editar: Al releer tu pregunta veo que esto no responde en absoluto. Lo siento.