$f^3,f^2$ son el cubo y la cuadrática de f respectivamente y ambos infinitamente diferenciables en $R$ como mostrarlo es $f$

Question

Dejemos que $f$ sea una función real con dominio R. Si $f^2$ y $f^3$ son ambas infinitamente diferenciables en R, cómo demostrar $f$ es infinitamente diferenciable en R?

He estado pensando en este problema durante mucho tiempo, pero no puedo encontrar una prueba precisa. Así que si alguien puede ayudarme, se lo agradeceré mucho.

Answer 1

Los siguientes documentos lo demuestran:

MR0682456 Revisado Joris, Henri Une C-application non-immersive qui possède la propriété universelle des immersions. (Francés) [Una aplicación C no inmersiva que posee la propiedad universal de las inmersiones] Arch. Math. (Basel) 39 (1982), no. 3, 269-277.

MR0833407 Revisado Duncan, John; Krantz, Steven G.; Parks, Harold R. Nonlinear conditions for differentiability of functions. J. Analyse Math. 45 (1985), 46-68. (Revisor: Wiesaw Pleniak) 26E10 (58C25)

MR2179865 Revisado Myers, Robert Una prueba elemental del teorema de Joris. Amer. Math. Monthly 112 (2005), no. 9, 829-831. (Revisor: Clifford E. Weil) 26A24

Answer 2

Publicado aquí porque Criterio para funciones suaves se cerró cuando estaba escribiendo todo esto. Mira la cadena de comentarios allí si las frases iniciales no tienen sentido para ti :-)

Ya que no pude recordar el nombre del teorema, permítanme al menos intentar recordar el $\bar\partial$ prueba de ello :-). Además, si recuerdo bien las cosas (no hay garantía de ello), la prueba en Monthly es una de las defectuosas, así que, como mínimo, hay que tener mucho cuidado al leerla. La prueba a la que se refiere Iosif es correcta, brillante y corta también, funciona en un entorno mucho más general, pero sigue teniendo un pequeño inconveniente: al mirarla, no es tan fácil entender lo que ocurre cuando sólo se asume cierta suavidad finita, es decir, cuál es la implicación de $f^2,f^3\in C^N$ con un número finito de $N$ . Nótese que esta implicación no puede ser que $f\in C^N$ porque $f(x)=0$ para $x<0$ , $f(x)=x^{N/2+\delta}$ para $x\ge 0$ satisface los requisitos, pero sólo es $C^{N/2}$ suave. Sin embargo, es posible demostrar que $f\in C^{rN}$ para algunos fijos $r>0$ (aunque no intentaré optimizar $r$ en el argumento siguiente)

Necesitamos tres piezas de maquinaria estándar. Presentaré las versiones más baratas que nos servirán aunque casi todo se puede refinar bastante.

La primera es que una función $f(x)$ en un intervalo $I\subset\mathbb R$ está en $C^N$ esencialmente si y sólo si existe una familia de funciones uniformemente acotada $f_\varepsilon(z)$ ( $\varepsilon\in(0,1)$ ) definido y analítico en las franjas $D_\varepsilon=I\times(-\varepsilon,\varepsilon)$ tal que $|f-f_\varepsilon|\le\varepsilon^N$ en $I$ .

Para obtener una dirección, basta con definir $f(x+iy)=\sum_{k=0}^{N-1}\frac{f^{(k)}(x)}{k!}(iy)^k$ extendiendo formalmente la serie de Taylor de $f$ al plano complejo desde el punto más cercano. Entonces $(\bar\partial f)(x+iy)=\frac 12(\partial_x+i\partial_y)f(x+iy)=\frac 12\frac{f^{(N)}(x)}{(N-1)!}(iy)^{N-1}$ que está delimitado por $C\varepsilon^{N-1}$ en $D_\varepsilon$ . Para obtener una aproximación analítica, basta con restar la solución de la $\bar\partial$ que se obtiene por la convolución de $\chi_{D_\varepsilon}\bar\partial f$ con $\frac 1{\pi z}$ como siempre.

Para obtener la otra dirección, observemos que $|f_{2\varepsilon}-f_{\varepsilon}|\le C\varepsilon^N$ en $I$ por lo que, debido a la acotación uniforme y a algo así como el lema de las 3 líneas de Hadamard (o, si se prefiere, estimaciones burdas para la medida armónica), obtenemos $|f_{2\varepsilon}-f_{\varepsilon}|\le C\varepsilon^{N(1-q)}$ en $D_{q\varepsilon}$ para cualquier $q\in(0,\frac 12)$ . Así, la descomposición
$$ f=f_1-\sum_{\varepsilon\in E} (f_{2\varepsilon}-f_{\varepsilon}) $$ donde $E=\{2^{-k},k=1,2,3,\dots\}$ y aplicando la estimación de Cauchy para la $m$ -derivada, llegamos a la conclusión de que la derivada formalmente diferenciada $m$ serie de tiempos de la derecha está dominada por $$ Cm!\sum_{\varepsilon\in E}(q\varepsilon)^{-m} \varepsilon^{N(1-q)}\,, $$ que es una serie convergente cuando $m<N(1-q)$ Así que si elegimos $q<N^{-1}$ obtendremos $f\in C^{N-1}$ .

Tenga en cuenta que aquí fuimos un poco descuidados: pasamos de $N$ a $N-1$ y el "lema de las tres líneas" funciona como queremos sólo si estamos separados de los puntos extremos de $I$ pero como la suavidad es una propiedad local y estamos dispuestos a perder incluso alguna porción de $N$ en nuestro recuento de derivados, esa dejadez puede tolerarse fácilmente.

La segunda pieza de la maquinaria es el cálculo del laplaciano $$ \Delta \log(|h|^2+\rho^2)=4\frac{\rho^2|h'|^2}{(|h|^2+\rho^2)^2} $$ y la fórmula de Green $$ \int_{\mathbb D}\Delta u(z)\log(1/|z|)\,dA(z)=\int_{\mathbb T} u(z)dm(z)-2\pi u(0) $$ donde $\mathbb D=\{z:|z|<1\}$ , $\mathbb T=\{z:|z|=1\}$ , $dA$ es la medida del área y $dm$ es la medida de longitud.

Se deduce inmediatamente que si $h$ es una función analítica acotada en el disco unitario, entonces $$ \int_{\frac 12\mathbb D}|h'|^2\chi_{\{|h|\le\rho\}}\le C\log\frac{\|h\|_\infty^2+\rho^2}{\rho^2}\rho^2\,. $$ Reescalado a $\varepsilon\mathbb D$ y cubriendo $D_{\varepsilon/3}$ por $\approx \varepsilon^{-1}$ discos de radio $\varepsilon/2$ concluimos que para cualquier función analítica $h:D_\varepsilon\to\mathbb C$ que está limitada por una constante, tenemos $$ \int_{D_{\varepsilon/3}}|h'|^2\chi_{\{|h|\le\rho\}}\le C\varepsilon^{-1}\log\frac{1+\rho^2}{\rho^2}\rho^2\,. $$

La última pieza de la maquinaria es el límite para la norma uniforme de la convolución $w*\frac 1{\pi z}$ en un dominio acotado. Dividir $\frac 1{\pi z}=K_r+K^r$ donde $K_r$ es la parte en el disco $r\mathbb D$ y $K^r$ es la parte que queda fuera del disco (suponemos que la función se trunca más allá del diámetro del dominio). Entonces $\|K_r\|_{L^1}\le Cr$ y $\|K^r\|_{L^2}\le C\sqrt{\log(1/r)}$ para los pequeños $r$ . Por lo tanto, obtenemos $$ \left\|w*\frac 1{\pi z}\right\|\le Cr\|w\|_{L^\infty}+C\sqrt{\log(1/r)}\|w\|_{L^2}. $$ por cada $r\in(0,\frac 12)$ digamos.

Ahora todo está listo para el "remate". Supongamos que $f^2$ y $f^3$ son $C^{N}$ en $I$ con derivados hasta $N$ limitado por $1$ digamos. Fijar $\varepsilon>0$ . Construir sus aproximaciones analíticas acotadas en $D_{\varepsilon}$ con error $\varepsilon^N$ y llamarlos $h$ y $g$ respectivamente. Entonces $|g^2-h^3|\le C\varepsilon^N$ en la línea real, por lo que si $q<1/N$ Esta estimación (con $N(1-q)>N-1$ en lugar de $N$ ) se extiende a $D_{q\varepsilon}$ . Así, la sustitución de $\varepsilon$ por $q\varepsilon$ podemos asumir con seguridad que $|g^2-h^3|\le\delta=C\varepsilon^{N-1}$ en $D_{\varepsilon}$ .

¿Cómo se recuperaría una persona normal $f$ grom $g\approx f^3$ y $h\approx f^2$ ? Una posibilidad es simplemente decir $f\approx g/h$ . Esto sería perfecto si no tuviéramos el pequeño (o incluso $0$ ) problema del denominador, así que tomemos $F=\frac{g\bar h}{\max(|h|^2,\rho^2)}$ en lugar de ello con algunos $\rho\gg \delta$ para ser elegido más tarde y poner $f_\varepsilon=F-(\bar\partial F)*\frac 1{\pi z}$ . Ahora sólo tenemos que hacer dos cosas: estimar $|F-f|$ en $I$ y acotar la convolución en la norma uniforme.

Estimación de $|F-f|$

Caso 1: $|h|<\rho$ . En este caso $|f|\le \sqrt(|h|+\delta)\le \sqrt{\rho+\delta}$ y $\frac{|g||h|}{\rho^2}\le \frac{\sqrt{\rho^3+\delta}}{\rho}\le C\sqrt{\rho}$ siempre y cuando $\rho^3\ge \delta$ . Así, $|F-f|\le C\sqrt{\rho}$ .

Caso 2: $|h|\ge\rho$ . En este caso $h=f^2+O(\delta)$ , $g=f^3+O(\delta)$ Así que $|f|\ge \sqrt{\rho-O(\delta)}\approx \sqrt\rho$ Así que $|f|^3\ge \rho^{3/2}\gg \delta$ y $$ F=\frac gh=\frac{f^3+O(\delta)}{f^2+O(\delta)}=f+O\left( |f|\left(\frac{\delta}{|f|^3}+\frac{\delta}{|f|^2}\right) \right)=f+O(\delta/|f|^2)=f+O(\delta/\rho)\,, $$ de donde $|F-f|\le \frac\delta\rho$ en este caso.

Así, obtenemos $|F-f|\le C(\sqrt{\rho}+\frac{\delta}{\rho})$ siempre que $\rho^3\ge\delta$ .

Estimación de la convolución

Observe que $w=\bar\partial F=\rho^{-2}g\bar{h'}\chi_{\{|h|\le\rho\}}$ . Además, ya hemos visto que $|h|\le\rho$ implica $|g|\le C\rho^{3/2}$ si $\rho^3\ge\delta$ , por lo que obtenemos $$ |w|\le C\rho^{-1/2}|h'|\chi_{\{|h|\le\rho\}}\,. $$ Así, $\|w\|_{L^2}^2\le C\varepsilon^{-1}\log\frac{1+\rho^2}{\rho^2}\rho$ en $D_{\varepsilon/3}$ . Además, como $h$ está acotado en $D_\varepsilon$ tenemos $|h'|\le C/\varepsilon$ y $\|w\|_{L^\infty}\le C\rho^{-1/2}\varepsilon^{-1}$ en $D_{\varepsilon/3}$ .

Por lo tanto, por la última estimación estándar, obtenemos el límite $$ Cr\rho^{-1/2}\varepsilon^{-1}+C\sqrt{\varepsilon^{-1}\rho\log\frac{1+\rho^2}{\rho^2}}\sqrt{\log(1/r)} $$ para el $L^\infty$ norma de $w*\frac 1{\pi z}$ . Si elegimos $r=\rho$ esto se convierte en $C\varepsilon^{-1}\sqrt\rho\log(1/\rho)$ .

Ahora es fácil ver que con $\rho^3=\delta=C\varepsilon^{N-1}$ todos nuestros límites son como máximo $C\varepsilon^{\frac N6-2}\log(1/\varepsilon)$ Así que hemos demostrado que tenemos al menos $\frac N6-3$ derivados continuos (y aún hay margen de mejora).