Estructuras de giro combinatorias

Question

Me gustaría saber cómo definir spin estructuras de combinatoria, para una orientada lisa colector equipado con una triangulación. En el caso de 2d colector, spin estructuras corresponden a las clases de equivalencia de Kasteleyn orientaciones (es decir, las orientaciones de los bordes, de modo que cada cara tiene un número impar de las agujas del reloj orientado a los bordes). Este hecho es importante en la teoría de dímero modelos.

En general (para arbitrario de dimensiones) algún tipo de construcción que se propone en http://arxiv.org/pdf/1306.4841.pdf pero es tremendamente complicado, yo no ver cómo es relativa a la Kasteleyn orientaciones en el 2d caso. Yo estaría muy feliz de ver a una combinatoria descripción de spin estructuras en 3d y 4d triangulaciones.

Upd: es evidente que existe una generalización de la 2d de la definición de n dimensiones. Uno podría asignar orientaciones para (n-1)-dimensional simplices, de modo que para un determinado n-simplex de un número impar de sus caras tiene la orientación opuesta a la de la n-simplex. ¿Esto de hacer el trabajo, o está mal por alguna razón?

Answer 1

Aquí está la respuesta estándar, pero tal vez usted está buscando algo diferente?

Un giro de la estructura de un colector $M$ está determinado por un encuadre de la tangente bundle $TM$, restringido para el 1-esqueleto. (es decir, el encuadre es definido sólo en el 1-esqueleto.) Dentro de este marco es necesario que sea el delimitador enmarcado en el límite de cada una 2-celda (es decir, el encuadre puede ser extendido para el 2-esqueleto). Dos 1-esqueleto de "framings" determinar el mismo giro de la estructura si y sólo si, se homotópica. Tal homotopies son generados por mudanzas locales que cambiar el encuadre en un 0-célula y a todos los de la 1-las células adyacentes a 0-célula.

Kirby y Taylor tener un buen papel en bajas dimensiones Spin y el Pin estructuras -- http://www3.nd.edu/~taylor/papers/PSKT.pdf

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[Añade más adelante]

(1) Como Ryan señala en un comentario, haciendo que la idea lo suficientemente explícitas como para ser implementado en un ordenador es el punto de su papel (que está vinculada a la pregunta original).

(2) Si usted está dispuesto interruptor para el dual del espacio de las funciones de spin estructuras en lugar de girar las estructuras de sí mismos, entonces hay la siguiente descripción relativamente sencilla que funciona en cualquier dimensión. Definir una cinta en $M$ ser un 1-dimensional submanifold $S \subset M$ equipada con un encuadre de $TM|_S$. Considere la posibilidad de (combinaciones lineales finitas de) clases de isotopía de las cintas en la $M$ módulo los siguientes tres movimientos.

• Si $S$ e $S'$ difieren por una trama de silla de mover, a continuación,$S \sim -S'$.
• Si $S$ e $S'$ se diferencian por la adición de una sola "kink" o "giro" a la estructura, a continuación,$S \sim -S'$.
• Si $S$ e $S'$ se diferencian por la adición/extracción de una pequeña unknotted círculo con el estándar (no delimitador) enmarcado, a continuación,$S \sim -S'$.

Uno puede mostrar que el anterior espacio vectorial es canónicamente isomorfo al espacio vectorial de las funciones en (clases de equivalencia) de spin estructuras en $M$.

Tenga en cuenta que si las tres apariciones de $S \sim -S'$ arriba se ha cambiado a $S \sim +S'$, entonces el espacio vectorial es canónicamente isomorfo a combinaciones lineales finitas de elementos de $H_1(M; \mathbb Z/2)$, que a su vez es isomorfo a funciones en $H^1(M; \mathbb Z/2)$. Esta es la contrapartida al hecho de que el conjunto de la vuelta de las estructuras es un torser para $H^1(M; \mathbb Z/2)$.

El anterior espacio vectorial, naturalmente, se extiende a un (totalmente extendido) TQFT.