Inspirado por la discusión en los comentarios de esta pregunta Me gustaría hacer la siguiente pregunta: ¿es posible caracterizar la clase de espacios que son homotópicamente equivalentes (o débilmente equivalentes) a los espacios compactos de Hausdorff? Como se indica en los comentarios de la pregunta enlazada, ningún espacio localmente conectado con infinitas componentes puede ser equivalente en homotopía a un espacio compacto de Hausdorff. ¿Existen otras restricciones? ¿Cualquier espacio conectado por caminos es equivalente en homotopía a un espacio compacto de Hausdorff? Me parece plausible que todo espacio pueda ser, al menos, débilmente equivalente a un espacio compacto de Hausdorff: quizás la topología de un complejo CW infinito pueda hacerse más gruesa para que sea compacto de Hausdorff sin cambiar el tipo de homotopía débil.
Actualización: He aceptado la respuesta de Jeremy Rickard, ya que parece responder más o menos completamente al caso de la equivalencia débil (sorprendentemente, todo espacio es equivalente débil a un espacio compacto de Hausdorff si no existe un cardinal medible). Los comentarios indican que los espacios que tienen el tipo de homotopía (fuerte) de los espacios compactos de Hausdorff están mucho más restringidos; aún así, me gustaría recibir respuestas que profundicen en esto.
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Si se permiten espacios no Hausdorff, hay espacios finitos conectados por caminos y no contratables (por ejemplo, el "pseudocírculo") que no pueden ser equivalentes en homotopía a ningún espacio Hausdorff, ya que no tienen mapas continuos no constantes a ningún espacio Hausdorff. Sin embargo, esto no responde a la cuestión de la equivalencia débil, ya que el pseudocírculo es débilmente equivalente a un círculo.
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Ah, por supuesto. Sería natural restringir a los espacios completamente regulares, ya que son los espacios con mapas "suficientes" a espacios compactos de Hausdorff.
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¿Es una cuña de círculos contablemente infinita equivalente (o débilmente equivalente) a un espacio compacto de Hausdorff?
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@JulianRosen: Yo creo que sí, para la equivalencia débil al menos: toma una cadena infinita de círculos pegados como OOOOOOO... y haz que se encojan y oscilen como una curva senoidal de topólogo que se acerca a un segmento del primer círculo.
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@JeremyRickard: ¡Vaya, eso es fascinante! Deberías publicarlo como respuesta (parcial). De hojear el papel, parece que lo que está pasando es que si $\kappa$ es medible, es posible definir una especie de composición transfinita de longitud $\kappa$ en el grupo fundamental de un espacio compacto.
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Igor Belegradek ha respondido la otra pregunta . Su respuesta dice esencialmente que un complejo CW que es equivalente en homotopía a un espacio compacto debe estar finamente dominado. En particular, cualquier complejo CW con homología no generada finitamente no puede ser equivalente en homotopía a un espacio topológico compacto.
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Otro trabajo relacionado es el de Watanabe "On spaces that have the shape of compact metric spaces", véase matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm104/fm10411.pdf . Demuestra, entre otras cosas, que un espacio compacto $X$ es equivalente en forma a un espacio métrico compacto si y sólo si para cualquier complejo simplicial finito $P$ el conjunto de clases de homotopía de los mapas $X\to P$ es contable.
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Como todavía no se ha registrado ningún contraejemplo, observaré que la larga línea $\mathbb{L}$ es un espacio de Tychonoff conectado por un camino que no es equivalente en homotopía a un espacio compacto de Hausdorff (o, de hecho, a cualquier espacio de Lindelöf, independientemente de la separación). Hay dos clases de homotopía de auto-mapas de $\mathbb{L}$ Uno representado por la identidad y el otro por la clase de cualquier mapa acotado. Por supuesto, el mismo argumento muestra exactamente por qué $\mathbb{L}$ tiene el tipo de homotopía débil de un punto.