¿Razones intuitivas de por qué la aproximación de la longitud del arco con líneas es buena, pero la aproximación de la superficie con polígonos falla?

Question

Una definición común de arclength es simplemente definirla como un supremum del conjunto de longitudes obtenidas al aproximar su curva como una unión de segmentos de línea (me pidieron en los comentarios una definición más precisa; ver https://en.wikipedia.org/wiki/Arc_length#Definition_for_a_smooth_curve ). El análogo natural de esto a la superficie de una superficie en el espacio 3 falla de forma bastante espectacular gracias a construcciones como la Linterna Schwarz lo que demuestra que podemos aproximar un cilindro mediante poliedros cuya superficie se aproxima al infinito.

¿Existe alguna razón intuitiva por la que la aproximación poligonal funcione tan bien para las curvas y falle tan estrepitosamente para las superficies?

Answer 1

Yo daría una razón intuitiva como la siguiente: en el caso de una curva suave, si los puntos $A$ y $B$ están en la curva, entonces la línea $AB$ , como $B\to A$ tiende a la tangente en $A$ mientras que en el caso de una superficie lisa, si los puntos $A$ , $B$ y $C$ están en la superficie, entonces el plano $ABC$ no necesita tender al plano tangente en $A$ como $B,C\to A$ El límite depende de la forma en que $B$ y $C$ acercarse a $A$ .

Al fin y al cabo, esto no es sorprendente si se piensa en lo sutiles que son los límites en dos o más dimensiones con respecto a los límites en una dimensión.

Answer 2

Incluso en el caso de las curvas, la convergencia requiere cierto cuidado, como demuestra el siguiente meme:

Tanto en el caso de la arclitud como en el de la superficie, la intuición clave es que no basta con que tu geometría discreta converja puntualmente a la suave: ambos los puntos y las normales deben converger bajo el refinamiento para que la longitud/área converja. Es que en el caso de las curvas, muestrear puntos en la curva y conectarlos por segmentos es suficiente para garantizar la convergencia de las normales también, mientras que como señalas, muestrear puntos en la superficie y conectar esos puntos con triángulos puede tener un alto error en las normales. (Si se garantiza que los triángulos siguen teniendo una "buena forma" (por ejemplo, Delaunay intrínseca) bajo el refinamiento, entonces se puede recuperar la convergencia de las normales y de la superficie. Incluso en el caso de la linterna de Schwarz, se converge a la superficie correcta si se refina a un ritmo igual en las direcciones axial y azimutal).

Así que yo diría que el caso de la curva es uno más de los muchos casos de tener "suerte" en las bajas dimensiones por no tener suficiente cuerda para ahorcarse.

Answer 3

El aumento de la superficie triangular de los poliedros se debe a que esas zonas están muy "arrugadas", es decir, que esos triángulos están muy "empinados" respecto al plano tangente del cilindro, lo que no puede ocurrir si aproximamos una curva mediante polígonos.