¿Cuándo es un TQFT la reducción dimensional de un TQFT de mayor dimensión?

Question

En Lurie marco para TQFT, una TQFT es simétrica mondoial functor de $Cob_n(n)$ a algunos monoidal simétrica $n$categoría $\mathcal{C}$. Uno puede construir un $(n-1)$-dimensiones TQFT de una $n$-dimensiones TQFT por tomar el producto de un cobordism con un círculo primero: $Red(F)(M) = F(M \times S^1)$.

Mi primera pregunta es: ¿son necesarios o condiciones suficientes para que un TQFT a ser la reducción dimensional de una de mayores dimensiones TQFT?

Como ejemplo, consideremos el siguiente. Por ejemplo, el 2-dimensional TQFT $K^\tau_G(G)$ para una compacta sencilla Mentira grupo $G$ surge como la reducción dimensional de Chern-Simons teoría. En Consistent Orientation of Moduli Spaces, Liberado-Hopkins-Teleman remarcar que el hecho de que $K^\tau_G(G)$ puede ser refinado para ser definido a lo largo del $\mathbb{Z}$ en lugar de $\mathbb{C}$ "refleja que la teoría es una reducción dimensional". Puede que esta declaración precisa?

Answer 1

Preguntando por las condiciones suficientes de que un $n$-dimensiones TQFT ascensores $n+1$ dimensiones es como preguntar por las condiciones suficientes de que un huevo del que saldrá dentro de un pájaro. Usted podría pensar de las condiciones necesarias. La única condición suficiente es para ver la escotilla de huevo, es decir, para ver el ascensor o categorification de la TQFT en la siguiente dimensión. Para que no suene como un fatuo pronunciamiento, la razón es que un $(n+1)$-dimensiones TQFT es a menudo mucho más complicado que su $n$-dimensiones predecesor. Sin duda una de Chern-Simons TQFT en 3 dimensiones es mucho más complicado que el de su reducción dimensional.

Como condiciones necesarias, que depende de qué tipo de pájaro que esperar. Supongamos que se establecen en una determinada categoría de destino $\mathcal{C}$. Entonces usted sabe que $F(M \times S^1)$ es la traza de la identidad functor en $M$, y que le da un montón de información. Por ejemplo, en la reducción dimensional de un Chern-Simons TQFT, usted siempre debe asignar un entero no negativo, para una superficie cerrada. Usted tiene que, debido a su elevación es espacio vectorial.

El problema es que $\mathcal{C}$ podría ser negociable. Supongamos que usted tiene un 2D TQFT en la que se asigna un número entero negativo a una superficie. Si saben que deben levantar a un espacio vectorial, que es imposible. Pero en su lugar podría levantar a un supervector espacio (graduado espacio vectorial con sus firmado dimensión), o un complejo de cadena, o algo más. Si el valor no es ni siquiera un entero, que no puede ser un show-tapón, ya sea: Su elevación podría ser clasificada en el espacio con una de Poincaré-Hilbert de la serie, y no podía ser formal suma de la serie con un no-entero respuesta. Un importante ejemplo moral es Khovanov homología, aunque no es un completo TQFT. Khovanov homología categorifies el polinomio de Jones. Un polinomio de Laurent con ambos signos es un mal augurio candidato para categorification, pero la categorification existe.