¿Por qué los valores de Eisenstein $E_2^*$ ¿enteros algebraicos?

Question

Estoy buscando una prueba de que el siguiente término es un entero algebraico siempre que $\tau_N=\frac{N+\sqrt{-N}}{2}$ es una irracionalidad cuadrática con número de clase $1$ :

$$A_N:=\sqrt{-N}\cdot\frac{E_2(\tau_N)-\frac{3}{\pi\cdot Im(\tau_N)}}{\eta^4(\tau_N)}$$

Aquí $\eta$ denota la Dedekind $\eta$ -Función y $E_2$ es la serie de Eisenstein de peso $2$ .

Como dijo @HenriCohen aquí: ¿Cómo calcular los coeficientes de la fórmula de Chudnovsky? se deduce de los teoremas de la multiplicación compleja, pero no he podido encontrar tales teoremas.

He calculado el valor numérico de $A_N$ para todos los discriminantes con número de clase 1. Los resultados son:

• $A_3 = 0$
• $A_4 = 0$
• $A_{7}=3\cdot e^{i\pi/3}$
• $A_{8}=4\cdot e^{i\pi/2}$
• $A_{11}=8\cdot e^{i\pi/3}$
• $A_{12}=6\cdot4^{1/3}\cdot e^{i\pi/2}$
• $A_{16}=12\cdot2^{1/2}\cdot e^{i\pi/2}$
• $A_{19}=24\cdot e^{i\pi/3}$
• $A_{27}=24\cdot9^{1/3}\cdot e^{i\pi/3}$
• $A_{28}=54\cdot e^{i\pi/2}$
• $A_{43}=144\cdot e^{i\pi/3}$
• $A_{67}=456\cdot e^{i\pi/3}$
• $A_{163}=8688\cdot e^{i\pi/3}$

Así obtenemos numéricamente, que estos $A_N$ son enteros algebraicos, pero no veo cómo demostrarlo. ¿Alguien sabe cómo hacerlo?

EDITAR : Gracias a la respuesta de Nikos Bagis, sólo el $A_N$ con impar $N$ quedan por demostrar. He trasladado la parte restante de la pregunta aquí donde la respuesta completa fue dada por Michael Griffin.

EDIT: Solución completa:

La respuesta de Michael Griffin (véase aquí ) se puede encontrar ahora con más detalle en el apéndice de este arXiv-preprint.

Editar: Serie Ramanujan-Sato

Tito Piezas III encontró unas Series Ramanujan-Sato de nivel 9 que se pueden expresar con estos números $A_N$ (ver esta pregunta ).

Answer 1

Esto es demasiado largo para que quepa en un comentario.

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Ramanujan estableció en su monumental documento Ecuaciones modulares y aproximaciones a $\pi$ que la expresión deseada es un número algebraico si $\tau_n=\sqrt{-n} $ donde $n$ es un número racional positivo.

Dejemos que $$P(q) =1-24\sum_{j=1}^{\infty}\frac{jq^{j} }{1-q^{j}}\tag{1}$$ y luego Ramanujan demostró que $$P(e^{-2\pi\sqrt{n}}) =\left( \frac{2K}{\pi}\right)^2A_n+\frac{3}{\pi\sqrt{n}}\tag{2}$$ donde $A_n$ es un número algebraico que depende de $n$ siempre que $n$ es un número racional positivo. Aquí $K=K(k) $ es la integral elíptica completa de primer orden con módulo $k$ y $k$ corresponde a nome $q$ para que $$k=\frac{\vartheta_{2}^{2}(q)}{\vartheta_{3}^{2}(q)},q=e^{-\pi\sqrt{n}}\tag{3}$$ y $k$ es un número algebraico si $n$ es un número racional positivo. La prueba de Ramanujan se presenta en una de las entradas de mi blog .

Si $q=\exp(\pi i\tau) $ entonces tenemos $P(q^2) =E_2(\tau)$ . Además tenemos $$\eta(\tau) =q^{1/12}\prod_{j=1}^{\infty}(1-q^{2j}),q=e^{\pi i\tau}\tag{4}$$ Es bien sabido que la función eta puede expresarse en términos de $k, K$ como $$\eta(\tau)=2^{-1/3}\sqrt{\frac{2K}{\pi}}(kk')^{1/6}\tag{5}$$ y por lo tanto la ecuación $(2)$ puede escribirse como $$A_n=\dfrac{E_{2}(\tau_n)-\dfrac{3}{\pi\Im{\tau_n}}}{\eta^4(\tau_n)}$$ que es un número algebraico.

Tenga en cuenta que si $\tau_n=\dfrac{n+\sqrt{-n} }{2}$ entonces tenemos $E_2(\tau_n)=P(q^2)$ si $n$ es par y $q=e^{\pi i\tau_n} $ y si $n$ es impar entonces $E_2(\tau_n)=P(-q^2)$ . Utilizando la técnica de Ramanujan se puede demostrar que $$P(e^{-\pi\sqrt{n}})=\left(\frac{2K}{\pi}\right) ^2B_n+\frac{6}{\pi\sqrt{n}}\tag{6}$$ (sólo hay que sustituir $n$ en $(2)$ por $n/4$ y $B_n=A_{n/4}$ ) y $$P(-e^{-\pi\sqrt{n}}) =\left(\frac{2K}{\pi}\right)^2C_n+\frac{6}{\pi\sqrt{n}}\tag{7}$$ donde $B_n, C_n$ son números algebraicos y $n$ es un número racional positivo y, por tanto, la expresión mencionada en la pregunta es un número algebraico. Demostrar que es un número entero algebraico no es, por desgracia, posible mediante los métodos de Ramanujan.

Answer 2

Me gustaría esbozar una idea conceptual que no responde directamente a esta pregunta.

El contenido de la sección 14, capítulo VIII del libro de Weil Funciones elípticas según Eisenstein y Kronecker implica que $$E_2(\tau)-\frac{3}{\pi\, Im(\tau)}=\frac{3}{\pi^2}K_2(0,0,2),$$

donde $K_2(0,0,s)$ se define por $$K(0,0,s):=\sum_{w\in W}{^*}\frac{\bar{w}^2}{|w|^{2s}}$$ con $Re(s)>2$ , $W$ es el entramado abarcado por $1,\tau$ y $K(0,0,2)$ está definida por la continuación analítica de $K(0,0,s)$ .

Dejemos que $1,\tau$ sea la base de enteros algebraicos de algún campo cuadrático imaginario de clase $1$ . Entonces $K(0,0,s)$ es un múltiplo integral de Hecke $L$ -función cuyo carácter es de $(2,0)$ -tipo. Nos gustaría comentar que para evaluar $K(0,0,2)$ es evaluar un valor crítico de una función L de Hecke. La observación atribuida a Deligne et al. afirma que los valores críticos de estas L-funciones son algunos períodos algebraicos por un número algebraico, y la afirmación en el PO podría resolverse mediante estudios de refinamiento de estas L-funciones de Hecke. Véase la página 12 de M. Nota de Watkins para un ejemplo.

P.D. Esta idea puede extenderse a otras series de Ramanujan que surgen de campos cuadráticos de clase 2 .