Intersecciones locales completas que no son intersecciones completas

Question

Las siguientes definiciones son la norma:

Una variedad afín $V$ en $A^n$ es una completa intersección (c.i.) si su desaparición ideal puede ser generado por ($n - \dim V$) polinomios en $k[X_1,\ldots, X_n]$. La definición también puede ser hecho para variedades proyectivas.

$V$ a nivel local es un completo intersección (l.c.i.) si el anillo local de cada punto en $V$ es un c.yo. (es decir, el cociente de un anillo local regular por un ideal generado por una secuencia regular).

¿Cuáles son los ejemplos (preferiblemente afín) de l.c.yo. que no son c.yo. ? Nunca he visto uno.

Answer 1

(Para complementar a Alberto ejemplo)

Si $V$ es proyectivo, entonces, la diferencia entre ser localmente c.i y c.me es bastante grande. En particular, cualquier liso $V$ sería localmente c.i., pero no son c.yo. normalmente. Por ejemplo, $V$ a un par de puntos en $\mathbb P^2$ daría ejemplos sencillos. En las dimensiones superiores, por Grothendick-Lefschetz, si $V$ es suave, $\dim V\geq 3$, e $V$ es c.yo. a continuación,$\text{Pic}(V)=\mathbb Z$, por lo que es una seria restricción.

El afín caso es más sutil. De nuevo, uno puede mirar en el suave variedades. Si $V$ es un buen afín y la curva c.i., luego de la canónica paquete de $V$ es trivial. Por lo que da la siguiente estrategia: empezar con un proyectiva de la curva de $X$ de género, al menos,$2$, la eliminación de algunos puntos generales para obtener una (siendo suave) afín a la curva no triviales canónica paquete.

Para más detalles sobre el segundo párrafo, véase esta cuestión, especialmente Bjorn Poonen comentarios. Este documento contiene las referencias pertinentes, y también un ejemplo trivial canónica paquete.

Answer 2

El primer ejemplo es el cúbico retorcido en$\mathbb{P}^3$.

Answer 3

Variedades en un espacio afín.

• en característica cero cualquier lci $X\subseteq\mathbb{A}^n$ es un conjunto teórico completo de intersección.
• En el carácter $p$ cualquier lci curva de $C\subseteq\mathbb{A}^n$ es un conjunto teórico completo de intersección.

Variedades proyectivas

Deje $X\subseteq\mathbb{P}^n$ ser una superficie lisa y no degenerados grado $p$ (un número primo) variedad de codimension $c$. A continuación, $X$ no es un esquema de la teoría completa de la intersección. De hecho, si $X = H_1\cap H_2\cap...\cap H_c$,, a continuación, $deg(H_2)=...=deg(H_c) = 1$ e $deg(H_1) = p$ por el teorema de Bezout, porque $p$ es primo. Por lo tanto, $X$ sería degenerados. Un ejemplo es el trenzado cúbico $C\subset\mathbb{P}^3$. Sin embargo $C$ es un conjunto teórico completo de intersección. Existe una quadric surface $Q$ y un cúbicos de superficie $S$ tal que $Q\cap S = 2C$ (es decir, $Q$ e $S$ son tangentes a lo largo de $C$).

Hartshorne Conjetura: Si $X\subseteq\mathbb{P}^N$ es una variedad lisa de dimensión $n$, codimesnion $c$ e $c\geq 2n+1$ entonces $X$ es un esquema de la teoría completa de la intersección.

Hartshorne Conjetura ha sido probado por Fano variedades de codimension dos cuadrática y variedades (es decir, las variedades que puede ser definido sólo por polinomios cuadráticos).

Gracias a Barth del resultado: Barth, W.: "el Trasplante de cohomology clases en el complejo-proyectiva el espacio", Amer. J. Math., 92, 951-967 (1970), y puesto que no indecomposable rango dos vectores paquete en la $\mathbb{P}^N$, $N\geq 5$, es conocido, se cree generalmente que cualquier suave, codimension dos subvariedades de $\mathbb{P}^N$, $N \geq 6$, es un completo intersección. Los principales resultados de codimension dos subvariedades puede resumirse de la siguiente manera: vamos a $\omega_X\cong \mathcal{O}_X(e)$, $d$ el grado de $X$ e $s$ el mínimo grado de una hipersuperficie que contengan $X$. si $e \leq N + 1$ o si $d < (N − 1)(N + 5)$ o si $s \leq N − 2$,, a continuación, $X$ es un completo intersección. Para $N = 5,6$ podemos algo más: vamos a $X \subset \mathbb{P}^6$ ser suave, codimension dos subvariedades, si $s\leq 5$ o si $d \leq 73$,, a continuación, $X$ es una completa intersección. Deje $X \subset \mathbb{P}^5$ ser suave, subcanonical triple. Si $s \leq 4$,, a continuación, $X$ es una completa intersección. Este es el Teorema 1.1 de http://arxiv.org/abs/math/9909137.

Answer 4

De la respuesta de Hailong, supongo que es posible hacer ejemplos más simples de la siguiente manera: tome$V$ una variedad afinada suave que no sea equidimensional (por lo que claramente es lci pero no ci). Por ejemplo,$V$ es la unión del plano$z = 0$ y la línea$z=1, x=y$ en$\mathbb A^3$. $V$ es suave (se puede demostrar que$I(V) = (zx-zy, z^2-z)$).

La desventaja de esta construcción es que$V$ debe ser reducible.

Por favor corrígeme si estoy equivocado.

Answer 5

EDIT: Esto está mal. No he eliminado con el fin de que los comentarios posteriores sentido.

Usted nunca va a ver un ejemplo, por la siguiente razón: dado un local completo intersección $V$ dentro $\mathbb{A}_k^n$, siempre se puede encontrar un mundial completo intersección $W$ dentro $\mathbb{A}_k^n$ de manera tal que la reducción de variedades asociadas a $V$ e $W$ son los mismos.

Prueba:

Supongamos $I$ es un ideal de $k[X_1,\dots,X_n]$ de manera tal que la variedad $V(I)$ es un local completo de intersección. Esto obliga a todos los locales de anillos de $V(I)$ es Cohen-Macaulay, por lo tanto equidimensional. Así que la irreductible componentes de $V(I)$ todos tienen el mismo codimension en $\mathbb{A}_k^n$; permite llamar a este codimension $r$.

Desde $k[X_1,\dots,X_n]$ es Cohen-Macaulay, la altura de $I$ (que es $r$) es la misma que la de su profundidad, lo que significa que $I$ contiene una secuencia regular $f_1,\dots,f_r$ de la longitud de la $r$. Considerando alturas vemos que el mínimo de los números primos sobre el ideal de $J=\langle f_1,\dots,f_r\rangle$ son los mismos que el mínimo de los números primos más de $I$. Por lo tanto, $J$ e $I$ tienen el mismo radical, que implica la demanda (con $W=V(J)$). QED

Así que si usted está tratando de atraer a contraejemplos, usted tiene que preocuparse acerca de si esa línea sobre el papel tiene nilpotent elementos en la estructura de la gavilla...