No ellipticity de Yang-Mills ecuaciones

Question

Deje $D=\text{d}+A$ ser una métrica de conexión en un vector paquete con curvatura $F=F_D$.

¿Cómo hace uno para demostrar que el Yang-Mills ecuaciones $$ \frac{\partial}{\partial x^i}F_{ij}+[A_i,F_{ij}]=0 $$ desde la clásica de Yang-Mills teoría no son elípticas?

En otras palabras, ¿cómo hace uno para calcular la linealización y principal símbolo de Yang-Mills ecuaciones?

Por favor alguien puede presentar una prueba de nonellipticity y/o calcular la linealización y principal símbolo de Yang-Mills ecuaciones, o el punto donde estas se han realizado en la literatura.

Answer 1

Permítanme tratar de baja tecnología. Comenzaremos con algunas definiciones de la Pandilla Tian del papel (lo que significa que estamos en la distancia Euclídea). Tenemos $$ A = A_i \mathrm{d}x_i, \qquad A_i:U\g, $$ donde $U\subset\mathbb{R}^n$ es un conjunto abierto y $g$ es una Mentira álgebra. A continuación, el Yang-Mills ecuaciones para $A$ $$ \partial_iF_{ij} + [A_i,F_{ij}] = 0, \qquad \qquad (*) $$ donde el convenio de sumación se supone, y $$ 2F_{ij} = \partial_iA_j - \partial_jA_i + [A_i,A_j]. $$ Descuidar el factor numérico $2$, la más alta de las derivadas de orden que aparecen en el lado izquierdo de $(*)$ $$ \partial_i\partial_iA_j - \partial_j\partial_iA_i = \Delta A_j - \partial_j\mathrm{div}A. $$ Tenga en cuenta que cualquiera que sea la linealización de una choses, esta es la parte principal de la linealización (debido a que la ecuación es semilinear). Ahora el símbolo correspondiente es $$ p(\xi) = -|\xi|^2 + \xi\otimes\xi. $$ El pensamiento de $p(\xi)$ $n\times n$ matriz, es claro si $\eta\in\mathbb{R}^n$ es colineal a$\xi$$p(\xi)\eta=0$, lo $p(\xi)$ a no es invertible, por lo tanto el asociado operador no es elíptica. Esto explica la razón básica detrás de la no-ellipticity. Permítanme sugerir un ejercicio: Escribir los detalles de este argumento para colectores de Riemann y para que el vector de paquetes. Otro buen ejercicio es calcular el principal símbolo de la elíptica en las ecuaciones de Einstein (o prescrita la curvatura de Ricci problema).

Answer 2

Comience con el hecho de (ejercicio):

$F_{A+b}=F_A+d_Ab+b\wedge b$.

Este es el meollo de todo, como ahora se puede linealizar la curvatura de la ecuación. En particular, los varones jóvenes ecuación es $F_A^+=0$, por lo que para tomar su linealización tomamos el auto-dual de la parte del ejercicio anterior, con $b=ta$, y evaluar $\frac{d}{dt}|_{t=0}$. Esto debería conducir a la deseada:

$d_A^+a=0$,

para $a\in\Omega^1(\mathfrak{g}_P)$. Ahora llevaremos de aquí, y calcular el símbolo. En particular, ya que no es de este calibre grupo de simetría en el espacio de la JA-soluciones, para conseguir realmente una elíptica sistema que acaba de agregar en la linealización de que el indicador de la acción, lo cual termina siendo $-d_A^\ast$.