¿Existe una explicación de las analogías entre la relación cruzada y el tensor de curvatura de Riemann?

Question

Definir la cruz-proporción de cuatro reales, complejos o de números de la siguiente manera: $$[a,b,c,d] = \frac{(a-c)(b-d)}{(a-d)(b-c)}.$$ A continuación, su logaritmo tiene las mismas simetrías como el tensor de curvatura: $$\log[a,b,c,d] = -\log[b,a,c,d] = -\log[a,b,d,c] = \log[c,d,a,b].$$ Por otra parte, si $[a,b,c,d] = \lambda$, a continuación, $[b,c,a,d] = 1 - \lambda^{-1}$ e $[c,a,b,d] = (1-\lambda)^{-1}$, lo que implica un análogo de la algebraicas Bianchi identidad: $$\log[a,b,c,d] + \log[b,c,a,d] + \log[c,a,b,d] = \pi i.$$

Hay algo detrás de estas coincidencias?

Answer 1

Hay una conexión indirecta que va a través de la teoría de representaciones del grupo simétrico. Las simetrías del tensor de Riemann son el equivalente a decir que $R$ se transforma de acuerdo a las dos dimensiones de la representación irreducible de $\mathbb S_4$ correspondiente a la partición de $[2,2]$. Por otro lado, consideremos el espacio de moduli $M_{0,4}$ parametrización un cuatro distintos ordenó puntos sobre la esfera de Riemann hasta las transformaciones de Möbius. El cohomology grupo $H^1(M_{0,4},\mathbf C)$ es $2$-dimensional, y se transforma de acuerdo a la representación de la $[2,2]$ bajo su acción natural de $\mathbb S_4$. Pero podemos calcular esta cohomology grupo como el espacio de holomorphic $1$formularios en $M_{0,4}$ con en la mayoría de los logarítmica de los polos en el infinito. Por otra parte, la cruz-relación de $\chi$ puede ser considerado como un holomorphic de la función en $M_{0,4}$ y su derivada logarítmica $d \log(\chi)$ es una 1-forma con el registro de los polos. (Tenga en cuenta que la diferenciación de su análogo de la identidad de Bianchi se deshace de la $\pi i$, por lo que realmente conseguir algo exactamente igual que el de costumbre Bianchi identidad!)