Finitud residual: ¿por qué nos importa?

Question

Residual grupos finitos se han estudiado por mucho tiempo. Sin embargo, estoy luchando para trabajar ¿por qué nos preocupamos, o quizás, por qué siguen siendo de interés. Me explico.

Magnus, en sus 1968 encuesta artículo, motiva residual grupos finitos diciendo que el residual de la finitud nos permiten extraer información sobre el grupo en una expresión algebraica de la forma. Entiendo y estoy de acuerdo con esto, y que era una muy buena motivación durante la edad de oro de la teoría de grupos. Sin embargo, ¿qué pasa en el mundo de hoy? ¿Cómo podemos aplicar esta propiedad de grupos de otros entornos?

Por lo tanto, tengo dos preguntas concretas.

1. ¿Por qué nos importa si hiperbólico grupos residual finito o no - tenemos soluble palabra problema, soluble isomorfismo problema, Hofian, y así sucesivamente. Estas propiedades podría decirse que implica que Magnus " la motivación no se sostiene. Debo decir que "porque no sabemos y es una pregunta interesante" no es realmente la respuesta que estoy buscando...(EDIT: soy consciente de que esto implica que los grupos hiperbólicos $3$-colectores son LERF, pero, en cierto sentido, este es todavía un grupo de la teoría de la propiedad.)

2. ¿Cuáles son los ejemplos de teoremas que decir "este grupo es residual finito y, por tanto, que increíble teorema de la teoría de los números tiene!", o "esta clase de grupos se residual finito, de modo que la clase de los anillos tienen esta propiedad maravillosa". Es decir, ¿cómo residual de la finitud de encajar con la imagen en grande?

Answer 1

Un ejemplo típico derivadas de la geometría algebraica es la siguiente.

Tome un esquema de $X$ finito de tipo más de $\mathbb{C}$. A continuación, hay (al menos) dos de los conceptos fundamentales de grupo para $X$: la topológico grupo fundamental de la $\pi_1^{top}(X)$, es decir, el grupo fundamental de la base del espacio topológico $X(\mathbb{C})$ con la analítica, la topología, y la étale grupo fundamental de la $\pi^{et}(X)$, que es puramente algebraica objeto (es una inversa de límite finito de automorphism grupos).

Por el llamado generalizada de Riemann Teorema de Existencia, cuya prueba es debido a Grauert y Remmert, el finito revestimientos de $X(\mathbb{C})$, que a priori son sólo analítica de los espacios, tienen en realidad un esquema de la estructura. Esto implica que $\pi_1^{et}(X)$ es, precisamente, el profinite finalización de $\pi_1^{top}(X)$.

Por lo tanto, no es un grupo homomorphism $$\eta \colon \pi_1^{top}(X) \longrightarrow \pi_1^{et}(X),$$ que es inyectiva precisamente al $\pi_1^{top}(X)$ es residual finito.

Por ejemplo, si por alguna razón sabemos que $\pi_1^{top}(X)$ es residual finito y somos capaces de mostrar que $\pi_1^{et}(X)=0,$ entonces podemos concluir que $\pi_1^{top}(X)=0,$ también.

J. P. Serre preguntó si existen suave, complejo de variedades que $\pi_1^{top}(X)$ es no residual finito (y, por tanto, $\eta$ no es inyectiva). Una consecuencia del teorema de Malcev es que si $\pi_1^{top}(X)$ tiene una fiel representación lineal, entonces es residual finito. Por lo tanto, si $X$ es una variedad de contestar afirmativamente a la Serre de la pregunta de su topológico grupo fundamental debe tener ningún fiel representación lineal. Tales variedades existen en la realidad, y los primeros ejemplos fueron construidos por D. Toledo, ver

Las variedades con las que no residual finito grupo fundamental, Publicaciones de Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques Volumen 77, Número 1 (1993), 103-119.

En Toledo ejemplos, $\ker \eta$ es libre grupo de infinito valor. Más tarde, F. Catanese y J. Kollar, y de forma independiente, M. Nori, fueron capaces de encontrar ejemplos donde $\ker \eta$ es un finito cíclico grupo. Tales ejemplos se describen en

Clasificación de los irregulares variedades, Notas de la Conferencia en Matemáticas 1515, Springer 1992.

Answer 2

Por alguna razón, la cuestión parece estar pidiendo una algebraicas (número - o anillo-teórico) justificación de residual de la finitud (e implícitamente LERF, aunque, de hecho, la afirmación correcta es que cada grupo hiperbólico es residual finito si y sólo si todos ellos son QCERF, como lo demuestran Agol--Arboledas--Manning). Recordar que el residual de la finitud significa que el subgrupo trivial es separable, y QCERF significa que todos los quasiconvex subgrupos son separables.

Pero la motivación principal es topológico (como Benjamin Steinberg ha señalado en los comentarios)---este fue el motivo por el residual de la finitud fue la clave para la prueba de la Virtual Haken Conjetura. Precisamente, Scott observó que si $\Gamma=\pi_1X$ e $X$ es una célula compleja, a continuación, un subgrupo $H$ es separable si, y sólo si, para cualquier compacto subet $K$ de los asociados que cubren el espacio de $X^H\to X$, existe una factorización

$X^H\to X'\to X$

donde $X'\to X$ es finito sábana y $K$ incrusta en $X'$.

En otras palabras, QCERF nos permitiría promover inmersiones incrustaciones en un número finito de sábana que cubre el espacio. Como he dicho en los comentarios, esto sería un gran paso adelante en nuestra comprensión de la topología de los espacios $X$. Hay un montón de aplicaciones: el papel por Friedl y Vidussi mencionado por Ian Agol en los comentarios es un buen uno.

Voy a terminar comprando la premisa de la pregunta por un momento y la mención de un par de aplicaciones algebraicas.

1. Bridson y Grunewald respondió a una pregunta de Grothendieck mediante la exhibición de un mapa entre un no-isomorfo par de residual finito, finitely presentan grupos, que induce un isomorfismo en profinite terminaciones. (Como en el de Francesco respuesta, la importancia de residuos de la finitud aquí fue que el \'etale fundamental del grupo es la profinite finalización.) Hicieron uso directo de los Sabios de la construcción de ciertas residual finito hiperbólico grupos.

2. Deje $M$ ser un hiperbólico colector. Por la prueba de la Virtual Haken teorema, sabemos que los primeros números de Betti de finito cubre de $M$ puede ser tomado tan grande como nos gusta. Yo creo que el número de teóricos sería muy emocionado si, en el caso de que $M$ es la aritmética, el mismo resultado se podría probar usando la congruencia cubre de $M$. Claramente el Virtual Haken teorema, aunque no suficiente, para ellos, es un buen comienzo!

3. Espero que todos estamos de acuerdo que la congruencia subgrupo problema para quaternionic hiperbólica de las rejillas es de independiente algebraica de interés. Si cada hiperbólico grupo fueron residual finito a continuación, se seguiría que la congruencia de los subgrupos de la propiedad falla en este contexto. (Por el contrario, demostrando que tienen la congruencia de los subgrupos de la propiedad podría ser la mejor oportunidad para demostrar que existen no residual finito hiperbólico grupos).

...

Hay otros, pero esto parece ser suficiente por ahora.

Answer 3

Nuevamente en la línea topológica, el teorema de aproximación de Suerte nos dice que si un grupo es residualmente finito, entonces podemos obtener los números L ^ 2 Betti del grupo como límite de los números normales de Betti.

Answer 4

1. Me dirigí a su primera pregunta en los comentarios hace un tiempo (nos gustaría saber si hiperbólico grupos tienen un número finito de índice de torsión libre de subgrupo, la realización de las vcd, que es equivalente a la cuestión de los residuos de la finitud). Otra razón por la que estoy interesado en esta cuestión es la relación con QCERF, como se ha mencionado por Henry Wilton. He demostrado que hiperbólico grupos que son cubulated son residual finito, y la prueba es por una intrincada inducción sobre la dimensión del cubo complejo (en concierto con el QCERF de la propiedad, o más bien el local más fuerte retractarse de la propiedad). Si hiperbólico grupos, en general, son residual finito, esto obviamente subsumir mi resultado. Por otra parte, la prueba de un resultado tendría que ser completamente diferente, ya que hay por ejemplo hiperbólico grupos con la propiedad (T), por lo que no puede ser cubulated o el local se retracte de la propiedad. Por lo que parece probable que si es cierto, la prueba de tal resultado sería totalmente subsumir mi prueba en la cubulated caso (es decir, parece poco probable que la prueba dependerá de la medida o de construir mi prueba como un caso especial). Así que me he pasado un poco de tiempo tratando de mostrar la existencia de no residual-finito hiperbólico grupos, fue en vano.

2. Creo que esta es una pregunta importante: ¿qué residual de la finitud nos dicen que no es interna a la teoría de grupos? No tengo una respuesta explícita a esta pregunta. Sin embargo, ciertos polinomio diophantine ecuaciones puede ser resuelto, en primer lugar, teniendo en cuenta las soluciones en un número finito de sábana que cubre el espacio, por ejemplo, la primitiva soluciones a $x^2+y^3=z^7$ se encontraron de esta manera. Así que, en cierto sentido residual-finitud del grupo fundamental entra en juego cuando la resolución de la ecuación por el descenso.

Otras aplicaciones de la diferencial de finitud (no es exactamente del tipo que usted solicita, pero no se menciona en los otros comentarios o respuestas):

• el Kaplansky conjetura tiene para el grupo de anillos de residual grupos finitos (modo "que clase de anillos tienen esta propiedad maravillosa" - ha).
• reiteró monodromy grupos (procedente de la ramificados cubre asociado a una racional mapa) codificar la información acerca de la dinámica de racional de los mapas, y se utiliza para resolver Hubbard "twisted conejo problema". Estos grupos son inherentemente residual finito.
• Golod y Shafarevich mostró que la clase torres puede ser infinito, mostrando que el pro-p finalización (cociente?) de un cierto grupo de Galois puede ser infinito. Esta es la relativa a los residuos de la finitud, aunque no precisamente en la forma de su pregunta. Por otra parte, la cuestión de si hay infinitamente muchos campos de número de la clase número uno sería contestada si sabía de la existencia de una infinidad de campos de número, cuya absoluta Galois grupo había un número finito de máximos solucionable cociente.

Answer 5

La razón obvia es que los grupos finitos son fáciles de calcular y los grupos infinitos no lo son; el hecho de que los problemas de decisión mencionados sean solucionables para (algunos) grupos hiperbólicos no tiene esencialmente ningún interés práctico. Para fines prácticos, necesita finitud residual y del tipo efectivo (vea la obra de Khalid Bou-Rabee y la suya verdaderamente para ver ejemplos).