$\let\ob\overline\let\sset\subseteq\let\nsset\nsubseteq\DeclareMathOperator\dom{dom}$ Hay muchos campos diferentes de $\mathbb R$.
La proposición: Vamos a $F$ ser un topológico campo de cardinalidad $2^\kappa$, con una densa subcampo $D$ de cardinalidad $\kappa$. Entonces existe un campo intermedio $D\sset K\sset F$ de cardinalidad $2^\kappa$ de manera tal que los poderes $K^n$ para $n\in\mathbb N$ son parejas no homeomórficos.
Opciones interesantes son:
$D=\mathbb Q$, $F\subsetneq\mathbb R$. Esto va a producir un incompleto de arquímedes ordenó campo $K$.
$D=\mathbb Q(x)$ con $x>\mathbb Q$, $F=\hat D$ (el Scott finalización de $D$, que tiene cardinalidad $2^\omega$, siendo un perfecto polaco espacio). Esto producirá un nonarchimedean DE cardinalidad $2^\omega$.
Siempre que $\kappa^{<\kappa}=\kappa$, existe un DE $|F|=2^\kappa$, con una densa subcampo $|D|=\kappa$. [En el supuesto de que existe un $\kappa$saturada DE $D$ de cardinalidad $\kappa$. Entonces es fácil construir un árbol anidado de los intervalos de $\{(a_t,b_t):t\in2^{<\kappa}\}$ tal que $b_t-a_t<d_{\mathrm{len}(t)}$ donde $\lim_{\alpha\to\kappa}d_\alpha=0$. Cualquier ruta a través del árbol define un Cauchy neto, también conocido como buen corte, por lo tanto la finalización de la $F=\hat D$ tiene cardinalidad $2^\kappa$.]
Prueba: El punto principal es que una función continua $K^n\to K^m$ está determinada únicamente por su restricción $D^n\to K^m\sset F^m$. Sólo hay $2^\kappa$ tales funciones, de ahí que podamos diagonalize en contra de ellos.
Así, vamos a $\{f_\alpha,g_\alpha\}_{\alpha<2^\kappa}$ ser una enumeración de todos los pares de funciones continuas $f_\alpha\colon D^{n_\alpha}\to F^{m_\alpha}$, $g\colon D^{m_\alpha}\to F^{n_\alpha}$ donde $n_\alpha>m_\alpha$. Para cualquier $\alpha$ e $a\in F^{n_\alpha}$, ponemos
$$\ob f_\alpha(a)=\lim_{\substack{x\in D^{n_\alpha}\\x\to a}}f_\alpha(x)$$
si es que existe, y lo mismo para $\ob g_\alpha$. Para $a\in F^{n_\alpha},b\in F^{m_\alpha}$, podemos definir
$$h_\alpha(a)=b\iff \ob f_\alpha(a)=b\text{ and }\ob g_\alpha(b)=a.$$
Tenga en cuenta que $h_\alpha$ es un parcial inyectiva función. Entonces, si $D\sset K\sset F$ e $h\colon K^n\to K^m$ es un homeomorphism, existe un $\alpha<2^\kappa$ tal que $h\sset h_\alpha$.
Construimos una estrictamente creciente secuencia $\{K_\alpha:\alpha\le2^\kappa\}$ de los subcampos de $F$, y un aumento de la secuencia de $\{A_\alpha:\alpha\le2^\kappa\}$ de los subconjuntos de $F$, tal que:
$K_\alpha$ e $A_\alpha$ son distintos, y de cardinalidad en la mayoría de las $\kappa+|\alpha|$.
No hay ningún campo $K_{\alpha+1}\sset K\sset F$ disjunta de $A_{\alpha+1}$ tal que $h_\alpha$ restringe a un homeomorphism $K^{n_\alpha}\to K^{m_\alpha}$.
A continuación, $K=K_{2^\kappa}$ cumple con las condiciones requeridas, por lo tanto lo que queda es llevar a cabo la construcción. Ponemos $K_0=D$, $A_0=\varnothing$, y para el límite de $\gamma\le2^\kappa$, podemos definir
$$K_\gamma=\bigcup_{\alpha<\gamma}K_\alpha,\qquad A_\gamma=\bigcup_{\alpha<\gamma}A_\alpha$$
como de costumbre. Para el sucesor de paso, suponga $K_\alpha$ e $A_\alpha$ han sido ya construidos. Dejamos caer los subíndices de $f_\alpha,g_\alpha,h_\alpha,n_\alpha,m_\alpha$ a simplificar la notación, y nos dicen que $K$ es un buen campo si es un subcampo $K_\alpha\sset K\sset F$ disjunta de $A_\alpha$.
Caso 1: No es un buen campo de $K$ tal que $K^n\nsset\dom(\ob f)$. Recogemos $(a_1,\dots,a_n)\in K\smallsetminus\dom(\ob f)$, y definir $K_{\alpha+1}=K_\alpha(a_1,\dots,a_n)$, $A_{\alpha+1}=A_\alpha$.
Caso 2f: Hay un buen campo de $K$ tal que $\ob f[K^n]\nsset K^m$. Recogemos $(a_1,\dots,a_n)\in K^n$ e $i$ tal que $b_i\notin K$ para $(b_1,\dots,b_m)=\ob f(a_1,\dots,a_n)$. Ponemos $K_{\alpha+1}=K_\alpha(a_1,\dots,a_n)$, $A_{\alpha+1}=A_\alpha\cup\{b_i\}$.
Casos 1g, 2g: Hay un buen campo tal que $K^m\nsset\dom(\ob g)$ o $\ob g[K^m]\nsset K^n$: similar.
Caso 3: No es un buen campo tal que $\ob f\restriction K^n$ e $\ob g\restriction K^m$ no son mutuamente inversas. Dicen, $a\ne a'\in K^n$, $b\in K^m$, $\ob f(a)=b$, y $\ob g(b)=a'$. Ponemos las coordenadas de $a,a',b$ en $K_{\alpha+1}$.
Caso 4: en Ninguno de los casos anteriores se aplica, es decir, $h$ restringe a un bijection $K^n\to K^m$ por cada buen campo de $K$. Afirmo que esto es de hecho imposible. Recordemos que $n>m$. Desde $|K_\alpha(A_\alpha)|<2^\kappa$, podemos encontrar $a_1,\dots,a_n\in F$ algebraicamente independiente sobre $K_\alpha(A_\alpha)$. Entonces
$$K_\alpha(a_1,\dots,a_n)\cap A_\alpha=K_\alpha\cap A_\alpha=\varnothing,$$
por lo tanto $K=K_\alpha(a_1,\dots,a_n)$ es un buen campo, lo que por supuesto, $h(a_1,\dots,a_n)=(b_1,\dots,b_m)\in K^m$. A continuación, $K'=K_\alpha(b_1,\dots,b_m)$ tiene trascendencia grado en la mayoría de las $m$ sobre $K_\alpha$, por lo tanto es apropiado subcampo de $K$. Sin embargo, también es un buen campo, por lo tanto el uso de la asunción de nuevo, $h^{-1}(b_1,\dots,b_m)\in(K')^n$, lo que implica $K\sset K'$, una contradicción.
Un menor de final de la complicación es que los pasos anteriores no garantizan que los $K_\alpha\subsetneq K_{\alpha+1}$. Sin embargo, esto es fácil de arreglar: el argumento en el Caso 4, existe siempre $a\in F$ trascendental sobre $K_\alpha$ tal que $K_\alpha(a)$ es un buen campo, por lo tanto podemos tirar en.
