Ejemplos patológicos de la dimensión

Question

Estoy tratando de entender las diferentes nociones de dimensión (y sus equivalencias). Para tener una idea de esto, sería bueno conocer las sutiles dificultades que surgen. Por lo tanto, creo que sería bueno tener una lista de estos ejemplos. (He escarbado en Internet sin encontrar tal colección).

Esta pregunta/solicitud puede interpretarse como
1) Un ejemplo que obedece a una determinada definición de dimensión pero que va en contra de nuestra intuición. Dicho de otro modo: un ejemplo que debe obedece a una definición particular de dimensión, pero no lo hace.
3) Un ejemplo que discrepa de dos definiciones diferentes de dimensión.
4) Un ejemplo que gira en torno a una hipótesis de la dimensión.

*Esto último es lo que me llevó a iniciar este post, porque me encontré con un ejemplo que involucra la dimensión de Krull: Si nuestro anillo $R$ es noetheriano entonces $\dim R[x]=1+\dim R$ pero si $R$ no es noetheriano entonces podemos tener $\dim R[x]=2+\dim R$ . Encontrado en http://www.jstor.org/stable/2373549?origin=crossref (La secuencia de dimensiones de un anillo conmutativo, por Gilmer).
*No estoy seguro de dónde encajan aquí nuestras curvas que llenan el espacio.

Algunas definiciones estándar de dimensión

• Dimensión de cobertura de Lebesgue (de un espacio topológico)
• Dimensión cohomológica (de un espacio topológico)
• Dimensión de Hausdorff (de un espacio métrico)
• Dimensión de Krull (de un anillo o módulo)

Answer 1

El espacio de Erdős el conjunto de todos los vectores en $\ell^2$ con entradas racionales, parece que encajaría en el proyecto de ley -- es un espacio metrizable que tiene "dimensión uno", pero es homeomorfo a su cuadrado cartesiano, y así viola nuestra esperanza/intuición de que $\dim(E\times F)=\dim(E)+\dim(F)$ .

Ver Respuesta de Gerald Edgar a una pregunta anterior de MO.

(Digresión: Me enteré de este ejemplo en un seminario impartido aquí por una postdoc, y me di cuenta, mientras escribía estas propiedades, de que en realidad lo había visto mencionado -sin ningún detalle técnico relevante- en una de las biografías de Erdős de la matemática popular. La historia cuenta que se interesó por algo que dos topólogos estaban tratando de resolver, que se le hizo una explicación rápida del problema, que volvió para preguntar qué era un espacio de Hilbert, que se fue y que volvió para demostrar que ese espacio tenía dimensión $1$ en lugar de la esperada $0$ o $\infty$ .)

Answer 2

Aquí hay uno bastante estándar (es un ejercicio en Hartshorne). En un dominio integral $R$ de tipo finito sobre un campo, todo ideal maximal tiene la misma altura (en particular, todo punto cerrado tiene la misma dimensión). De hecho, sería natural definir que un anillo es equidimensional si cada ideal máximo tiene la misma altura. Hay un problema con esta definición.

Supongamos ahora que $R$ es un DVR con parámetro $r$ . Considere el anillo $R[x]$ . Este anillo tiene un ideal máximo de altura uno, $\langle xr - 1 \rangle$ y otro ideal máximo de altura dos, $\langle x, r \rangle$ .

La cuestión es que se trata de un dominio, por lo que su $\text{Spec}$ es presumiblemente equidimensional, de dimensión 2 la dimensión de Krull de $R[x]$ . Pero tiene puntos cerrados de diferentes alturas (aunque con campos de residuos muy diferentes). Por supuesto, esto no es tan patológico como un anillo no catenario, pero podemos incluso suponer que $R[x]$ es una localización de $k[r,x]$ .

Answer 3

Un conjunto de hechos que me parece desconcertante es el comportamiento de la dimensión de Krull (en el sentido de Gabriel y Rentschler, es decir, para anillos no necesariamente conmutativos) de las álgebras de Weyl.

Uno tiene $\mathcal K(A_n(k))=n$ cuando $k$ es un campo (¡conmutativo!) de característica cero, y esto es muy sensato. Si $k$ es en cambio de característica positiva, tenemos $\mathcal K(A_n(k))=2n$ que es el otros valor razonable... Ahora, si $k$ es un campo de cualquier característica y $D_n=\operatorname{Frac}A_n(k)$ es el $n$ campo de Weyl, entonces $\mathcal K(A_n(D))=2n$ Esto ya es extraño. Más en general, $\mathcal K(A_n(D_m))=\min\{2n,n+m\}$ sobre un campo de característica cero.

Hay un documento de Goodearl, Hodges y Lenagan que está lleno de información sobre esto (y de información paralela sobre las dimensiones globales).

Answer 4

@Chris: la homología de Cech de cualquier compacto $n$ -espacio dimensional $X$ (aquí se habla de la dimensión de cobertura) desaparece en las dimensiones superiores $n$ porque:

1. $X$ es un límite inverso de $n$ -poliedros finitos;
2. La homología de Cech de los espacios compactos es continua (con respecto a la operación límite inversa).

Se deduce que la homología de Cech de cualquier hawaiano $n$ -El pendiente de la dimensión se desvanece en cada dimensión por encima de $n$ .

Answer 5

Para (1), consideremos el análogo bidimensional del pendiente hawaiano. Se trata de la unión $X$ de esferas de radios $1/n$ ( $n\in\mathbb{N}$ ) que se cruzan en el punto de origen. Es de esperar que $H^3(X)=0$ bajo homología singular, es decir $X$ es bidimensional, pero resulta que $H_3(X)\ne 0$ . No estoy seguro de que la cohomología de Cech dé la respuesta "correcta"... Yo creo que sí. (Trataré de encontrar más información sobre esto).

[[Actualización]]: Esto se encuentra en un trabajo de Milnor y Barratt, Un ejemplo de homología singular anómala . Su resultado es que para el $r$ -análogo a la dimensión $X_r$ del pendiente hawaiano, $H_n(X_r;\mathbb{Q})$ es incontable para $n\equiv 1\;\text{mod}(r-1)$ para $n,r>1$ . Aquí utilizamos la homología singular. Y recuperamos $\check{H}_{r+1}(X_r)=0$ ¡bajo Cech-homología!