Teorema de las "seis desviaciones estándar" de Spencer: ¿mejores constantes?

Question

Esta pregunta es acerca de Joel Spencer famoso "seis desviaciones estándar" teorema. El teorema dice que cuando $$L_i(x_1,\dots,x_n) = a_{i1} x_1 + \dots + a_{en} x_n, \quad 1 \leq i \leq n,$$ se $n$ lineal de las formas en $n$ variables con todas las $|a_{ij}| \leq 1$, entonces no existen números de $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n \in \{-1,+1\}$ tal que $$|L_i(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)| \leq K \sqrt{n}$$ para todos los $i$.

Se basa en el Teorema 1 en:

Spencer, Joel. Seis desviaciones estándar es suficiente. Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 289 (1985), no. 2, 679-706. Texto completo en formato PDF (acceso abierto)

Como se señaló al final de la nota, el constante $K$ que Spencer obtenidos en realidad es $K=5.32$.

Pregunta: ¿alguien sabe de una prueba del Teorema que da un menor valor de la constante?

Answer 1

Una vez hecho el resultado original, es emocionante ver trabajar en la constante. Mi 5.32 ciertamente no estaba destinado a ser el mejor posible. Para los límites inferiores, el uso de matrices de Hadamard (con coeficientes +1, -1 en comparación con el sistema establecido con coeficientes 0,1) da un límite inferior de K = 1. - js

Answer 2

En su tesis doctoral, A. Belshaw encuentra$K=5.199$, pero también afirma que Kai Uwe Schmidt pudo obtener$K$ tan bajo como$3.65$. La idea del proceso se describe en la Sección 5.6, aunque los cálculos reales se basan en la "comunicación personal".

Ver summit.sfu.ca/system/files/iritems1/13657/etd8131_ABelshaw.pdf