¿Es posible construir una acción de un$E_\infty$ operado en$BU$ que respete la filtración por$BU(n)$?

Question

Es bien sabido que $BU$ es un bucle infinito espacio, y como tal tiene una acción de una $E_\infty$ operad. Una construcción explícita de este tipo de acción se da, por ejemplo, en una respuesta a este MO pregunta . Mi pregunta es si es posible construir una acción que respeta la filtración de $BU$ por $BU(n)$.

Permítanme explicar la cuestión de manera más explícita: es posible construir un filtrado del espacio $X_1 \subset X_2 \subset \cdots X$ tal que para cada $n$ $X_n\simeq BU(n)$, y no es una acción de una $E_\infty$ operad $P$ a $X$ tal que operad estructura de los mapas como $$P(i)\times X^i\to X$$ restringir a los mapas $$P(i)\times X_{n_1}\times\cdots \times X_{n_i}\to X_{n_1+\cdots+ n_i}$$

Answer 1

Desafortunadamente, no hay tal filtración.

En primer lugar, esto se ve muy similares (pero no tan fuerte como) pidiendo un mapa de $E_\infty$ espacios de $\coprod BU(n) \to BU$ que se convertiría en un mapa de la división de $ku \to bu$ de los espectros. Sabemos que eso no suceda, porque hay un trivial $k$-invariante.

Podemos mirar con más cuidado en cómo esta $k$-invariante obras y nos conduce a un método para dar una contradicción real. El $k$-invariante es detectado por el hecho de que el generador de $1_{ku}$ de % de $\pi_0 ku$ es aniquilada por el Hopf elemento $\eta$, y la de Toda soporte de $\langle 2, \eta, 1_{ku}\rangle$ contiene el Bott elemento $\beta$ y no contiene el cero. Esto se explica de la siguiente manera en el nivel de $E_\infty$ espacios. Supongamos $X$ es $E_\infty$ espacio con la multiplicación $\smile$ y asociados espectro de $KX$, y deje $\alpha \in \pi_0(X)$ imagen $[\alpha] \in \pi_0(KX)$. Arriba a la traducción de los componentes de la ruta, el elemento $\eta[\alpha] \in \pi_1(KX)$ ascensores (hasta el cambio de componentes de la ruta) para el elemento $\alpha \smile_1 \alpha \in \pi_1(X, \alpha \smile \alpha)$. Podemos encontrar un canónica nullhomotopy de la ruta de acceso compuesto de $\alpha \smile_1 \alpha$ con sí mismo, que expresan la identidad de $2 \eta [\alpha] = 0$; si también tenemos un nullhomotopy de $\alpha \smile_1 \alpha$, entonces podemos usar esto para la construcción de un representante para el soporte. Si usted lleve a cabo para el punto de referencia $BU(1)$ utilizando el mapa estándar $E\Sigma_2 \times_{\Sigma_2} BU(1)^2 \to BU(2)$, usted encontrará que usted consigue el generador de $\pi_2 BU(2) = \Bbb Z$. Sin embargo, en $bu$ esto significaría que hubo un soporte de $\langle 2,\eta, 0\rangle$ que no contienen cero; eso sería malo.

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Por supuesto, resulta mucho más fácil recurrir a algunos de maquinaria. Kochman calcula la Dyer-Lashof operaciones en $H_* BU = \Bbb F_2[x_1, x_2, \dots]$. Sus cálculos muestran, por ejemplo, que el $Q^4 x_1 = x_1^3 + x_1 x_2 + x_3$. Como resultado, el mapa de $H_6 (E\Sigma_2 \times_{\Sigma_2} BU(1)^2) \to H_6(BU)$ es surjective, pero el mapa de $H_6(BU(2)) \to BU$ no es (lo que falta es $x_1^3$). Esto significa que nuestro operad mapa de la estructura de $P(2) \times X_1 \times X_1 \to X$ nunca podría tierra en un subobjeto $X_2$ como usted desea. (Esto supone que he leído y entendido correctamente en el cálculo de las operaciones.)

(De hecho no me Priddy del método para el cálculo de la Dyer-Lashof operaciones aquí un poco más fácil que tratar de entender Kochman del algoritmo: Priddy calcula la Dyer-Lashof operaciones en $H_*(\coprod BU(n)) = \Bbb F_2[a_0,a_1,\dots]$ y, a continuación, usted puede deducir las operaciones en los generadores $x_i = a_i a_0^{-1}$ de % de $H_* BU$ por el Cartan fórmula. A la inversa tornillos de la propiedad de preservar homogénea de grado y que es lo que es meterse con nosotros aquí.)

Answer 2

Arreglar tu favorito pequeño infinito espacio vectorial $V$; tenga en cuenta que el espacio de (ordenada) descomposiciones $f:V \simeq \bigoplus_1^k V$ es contráctiles, de modo que el espacio de los conjuntos de inclusiones $\{ f_j | j = 1,...,k\}$ (es decir, el olvido de la orden) es un modelo de $B \mathfrak{S}_k$. A un conjunto de inclusiones $I$ y una elección de suspaces $W_j \subset V$ indexados por $I$, escribir $\bigoplus_I W_j = \sum f_j W_j$.

Nuestro modelo de $BU$ será la subespacios de $V$ finito de corank, y la filtración $BU_n$ será la subespacios específicamente de corank en-la mayoría-$n$.

Reclamo: $BU_n$ es un modelo de $\mathbf{B}U(n)$.

Idea: voy a describir un golpe de $X \to BU_n \backslash BU_{n-2}$ y argumentar tanto equivalencias $X \simeq BU_n \backslash BU_{n-1}$ e $X \simeq BU_n\backslash BU_{n-2}$.

Dado un espacio de $W \lt V$ de corank $n-1$ la fibra de la explosión de más de $W$ se compone de todas las opciones de una base $b :\mathbb{C}[x]\simeq W$ (contráctiles elección!); deje $X$ ser la asignación de cilindro del mapa de asignar a $(W;b)$ el subespacio $b(x\mathbb{C}[x])$; extender el cilindro mapa a $p : X \to BU_n\backslash BU_{n-2}$ por $(W;b,t) \mapsto b\left((1-t + tx)\mathbb{C}[x]\right)$

La asignación de cilindro de curso de la deformación se retrae a su base, $BU_n \backslash BU_{n-1}$; por otro lado, la homotopy especificado por $s \mapsto t \mapsto ts$ interpola $p$ y el mapa olvidar tanto $t$ e $b$; el mapa que ha contráctiles (conjunto teórico) de las fibras.

Answer 3

permítanme darles un útil "respuesta" por la historia antigua. Ya que yo en realidad no tengo una respuesta, estos deben ser los comentarios, pero son demasiado tiempo para eso. En la Sección 1 del Capítulo I de "$E_{\infty}$ anillo de espacios y $E_{\infty}$ anillo de espectros", http://www.math.uchicago.edu/~mayo/LIBROS/e_infty.pdf, me dio un relato sistemático de la acción de las isometrías lineales operad $\mathcal{L}$ en infinitos espacios homogéneos $G/\prod_{1\leq i \leq n} G_i)$ clásicos de los grupos. Incluye todos los clásicos de los grupos y, a través de la costumbre Grassmannians, todos los de su clasificación de los espacios. Por construcción, todos estos son colimits relacionados, pero no en todos es el mismo, el otorgado por la filtración natural de preguntar acerca de. Todos ellos son dadas por functors $T$ definido en un gradual de la categoría de finito dimensionales (real) producto interior de los espacios, la calificación dada por dimensión; véanse las Definiciones de 1.6 y 1.8, op cit. Así que para el real analógica de la pregunta $T$ enviaría $V$ a $O(V\oplus V)/O(V)\times O(V)$. El $\mathcal{L}$-espacio asociado a $T$ es el colimit $T(\mathbf{R}^{\infty})$ de la $T(V)$. Esto no es lo que pides, pero es la más geométrico de acción en la vista. La construcción no se ajusta hacia probando que todos los de la Bott mapas se $E_{\infty}$ mapas, y podría haber algún otro tipo de envase que hace lo que quiere. Usted menciona el muy diferente operad actuando en $\coprod BU(n)$, que por la construcción de la permutative categoría $\coprod U(n)$ se comporta como desee antes de la finalización. Tal vez una comparación entre estas dos diferentes operad acciones podrían ser relevantes, y me dio que en "Los espectros asociados a $\mathcal{I}$-monoids", http://www.math.uchicago.edu/~mayo/PAPERS/24.pdf.

Varios comentarios se refieren a la estructura multiplicativa $\otimes$ más que a la estructura aditiva $\oplus$ está implícitamente preguntar acerca de. El bipermutative categoría $\coprod BU(n)$ da lugar a una $E_{\infty}$ anillo de estructura de espacio, pero que daría lugar a una diferente (y un poco mal planteado) pregunta con la suma de los $n_i's$ reemplazado por su producto.