¿Por qué es difícil definir grupos de cohomología en la teoría de Arakelov?

Question

He estado intrigado por la siguiente Faltings' comentario en su papel de Cálculo en arithemetic superficies (página 394) para un par de meses. Él dice:

Si $D$ es un divisor de a $X$, nos gustaría definir un hermitian producto escalar en $\Gamma(X,\mathcal{O}(D))$ e $H^{1}(X,\mathcal{O}(D))$. Por supuesto, hay una manera obvia de hacerlo, es decir, a través de la plaza de la integral de la norma de una sección. Por desgracia, esto no es suficientemente bueno para nosotros, ya que estamos buscando la arquímedes análogo de la siguiente hecho:

Si $V$ es un discreto valoración de anillo, $K$ su campo de fracciones, $X$ estable de la curva de más $\textrm{Spec}(V)$, $D$ un divisor en $X\times_{V}K$, podemos extender $D$ canónicamente a $X$, e $\Gamma(X,\mathcal{O}(D))$ es entonces un entramado en $\Gamma(X\times_{V}K, \mathcal{O}(D)).$ Se compone de los meromorphic funciones en $X\times_{V}K$ que sólo tiene polos en $D$, y que son parte integral de ciertas valoraciones de la función de campo de $K(X)$ de % de$K$, es decir, las valoraciones correspondientes a los genéricos de los puntos de la especial de fibras de $X$. Estas valoraciones extender la valoración de $V$, y por lo tanto un teorema de Gel'fand nos dice que no puede ser una de arquímedes analógica para ellos.

Si no estoy confundido, esta es precisamente la dificultad que impide una buena definición de una efectiva cohomology de la teoría en un arithemetic de la superficie. Y esto motivó Faltings para definir el volumen del determinante paquete lugar sin escalar productos. Pero creo que no lo entiendo muy bien - por ejemplo, que el teorema de Gelfand fue Faltings hablando? Es Gelfand–teorema de Mazur, o Gelfand-Tornheim teorema? No podía entender realmente la observación ", es decir, las valoraciones correspondientes a los genéricos de los puntos de la especial de fibras de $X$". Mantener rascándome la cabeza después de un par de meses, me decidí a preguntar.

Answer 1

El especial de fibra de $X$ podría ser una unión de uno o más de los mínimos de las curvas. El anillo local en el punto genérico de cada uno de esos puntos es un discreto anillo de valoración (por ser un anillo local regular de la dimensión $1$), y por lo que define una valoración sobre su campo de fracciones, que es $K(X)$.

Vamos a considerar un caso especial donde la dificultad ya aparece. Toma $V=\mathbb Z_p, K= \mathbb Q_p, X = \mathbb P^1_{\mathbb Z_p}, K(X) = \mathbb Q_p(x)$. No es una forma natural para extender la valoración en $\mathbb Q_p$ a una valoración del campo $K(X)$. Para hacer esto escribimos un elemento en $\mathbb Q_p(x)$ como un cociente de dos polinomios en $\mathbb Z_p[x]$, y definimos la valoración para ser el más alto poder de $p$ dividir el numerador menos el más alto poder de $p$ dividiendo el denominador. Tenga en cuenta que, cuando restringimos esta valoración a $\mathbb Q_p$, recuperamos la norma de valoración en $\mathbb Q_p$.

Además, para explicar por qué esto es tan natural, tenga en cuenta que para cualquier $x$ en $\overline{\mathbb F}_p$ donde ni el numerador ni el denominador se desvanece (mod $p$) en $x$, para cualquier alzamiento de $x$ a $\overline{\mathbb Z}_p$, la valoración de la función racional calculado de esta manera es la misma que la valoración cuando lo evaluamos en $x$, simplemente porque el numerador y el denominador permanecen $p$-ádico unidades en este caso. Debido a que el nonvanishing del numerador y el denominador es una condición genérica, podemos decir que esta es la valoración asociada a la genérica punto.

El teorema de que las normas de un análogo de la construcción en el infinito lugar es el Gelfand-Tornheim teorema que dice que no hay ningún valor absoluto en $\mathbb C(X)$ para $X$ una curva de más de $\mathbb C$ que se extiende el valor absoluto en $\mathbb C$.

Answer 2

Ya hay un problema al mirar secciones globales de, por ejemplo, un paquete de líneas de Arakelov$(\mathcal{L},||\cdot||)$ pensado como un paquete de líneas en$X = \widehat{\mathrm{Spec}~ \mathbb{Z}}$. Vemos que$H^0(X,\mathcal{L})$ ni siquiera es un grupo.

Esto no significa, por supuesto, que será imposible definir la cohomología de manera significativa; pero ese debe pensar un poco más.

Puede verificar el trabajo de Durov, New Approach to Arakelov Geometry , donde implementa algún tipo de teoría de la cohomología.