Cronología de la teoría de Galois

Question

Una reciente pregunta sobre la historia de la teoría de Galois no era la más satisfactoria. Pero los problemas históricos parecen bastante atractivos. Su relación con la innovación, y a la exposición. Hay una perspectiva que se basa en el pasado la enseñanza no estoy totalmente de share) que los períodos a considerar son las pre-Artin, clásico Artin tratamiento y post-Artin. Para hacer el punto de forma explícita, que tiene que ver con la influencia de Artin de la Teoría de Galois de la catedral de Notre Dame, notas, fechas de derechos de autor 1940 y 1942.

Mis problemas con este periodisation son principalmente que ver con un deseo de tener una visión correcta de la innovación, empezando por Galois (admitiendo la pre-historia evidente en Gauss y Abel, la solución de la cuártica, teoría de grupos y otras contribuciones en Lagrange). No es algo como esto:

*Galois

*Liouville escribe la teoría

*Escuela francesa de la teoría de grupo y tratamiento de Camille Jordan

*Superficie de Riemann de la teoría en general, y isogenies de curvas elípticas en particular, se desarrollan en paralelo

*Presumiblemente Hurwitz sabía cómo conectar los puntos

*La teoría algebraica de números usa abelian y extensiones de Kummer teoría ampliamente

*Hilbert pone conjetural bases para la clase de teoría de campo, post-Kronecker Jugendtraum y complejo de la multiplicación de la teoría, utilizando una versión de la teoría de Galois, que parece ser mucho más influenciados por Hurwitz/superficies de Riemann

*Steinitz, resumen de la teoría de los campos, la idea de extensiones separables aclaró

*Nuevas exposiciones de Emmy Noether y Artin en la década de 1920 (estos son documentados, aunque?), contra el fondo de completar las pruebas de campo de la clase de teoría, y Artin L-funciones

*El Problema Inverso para grupos de Galois establece y lleva a trabajar en la teoría de invariantes

*1930: la teoría de Galois infinitas extensiones es enunciado

*C. 1940: Tensor de productos de los campos.

Esto nos lleva a 1940. Creo que es una trampa para asumir Artin en 1940 estaba dando una conferencia sobre la teoría de Galois en los términos precisos que se han utilizado en la década de 1920.

Yo estaría muy agradecido por ayudar a hacer de este calendario provisional más sólido. Más cosas interesantes que sucedió después de 1942, pero que parece suficiente para una pregunta.

[Edit:La mayor pregunta era ¿Cuál era la teoría de Galois como antes de Emil Artin? - el tratamiento de mis comentarios, no como provisional.]

Edit: Dedekind contribución debería haber estado en la lista. Ver hss.cmu.edu/philosophy/techreports/184_Dean.pdf acerca de lo que Dedekind hizo en sus Vorlesungen. Que el artículo créditos Artin con la formulación del Teorema Fundamental en términos abstractos, mientras que la concesin de Dedekind con la teoría de los subcampos de los números complejos. En ese contexto se vuelve más claro, creo, por la "innovación" va a Dedekind en el entramado de la teoría de la forma de pensar acerca de la teoría de Galois, mientras que Artin razonablemente podría haber pensado que estaba haciendo la exposición (unir esas ideas de manera explícita en la post-Steinitz era).

Answer 1

EDIT. Aquí es la parte de la respuesta, que ha sido reescrito:

Damos a continuación una breve prueba del Teorema Fundamental de la Teoría de Galois (FTGT) para finito de grados de extensiones. Que se derivan de la FTGT de dos declaraciones, que se denota (a) y (b). Estas dos declaraciones, y la forma en que se demostró aquí, se remontan por lo menos a Emil Artin (referencias precisas a continuación).

La derivación de la FTGT de (a) y (b) toma alrededor de cuatro líneas, pero no he sido capaz de encontrar estas cuatro líneas en la literatura, y todas las pruebas de la FTGT que he visto hasta ahora son mucho más complicados. Por lo tanto, si usted encuentra un error en estas cuatro líneas, o un rastro de ellos en la literatura, por favor hágamelo saber.

El argumento es esencialmente tomado del Capítulo II (enlace) de Emil Artin de Notre Dame Conferencias [A]. Más precisamente, la declaración de (a) a continuación se muestra implícitamente contenida en la prueba el Teorema 10 página 31 de [A], en el que la singularidad hasta el isomorfismo de la división de campo de un polinomio es verificada. Artin de la prueba se muestra en el hecho de que, cuando las raíces del polinomio son distintos, el número de automorfismos de la división de extensión coincide con el grado de la extensión. Declaración (b) a continuación se prueba como Teorema 14 página 42 de [Una]. La prueba que se dan aquí (usando Artin del argumento), fue escrito con Keith Conrad de ayuda.

Teorema. Deje $E/F$ ser una extensión de los campos, vamos a $a_1,\dots,a_n$ ser distintos generadores de $E/F$ tal que el producto de la $X-a_i$ es de $F[X]$. Entonces

• el grupo $G$ de automorfismos de $E/F$ es finito,

• hay un bijective correspondencia entre el sub-extensiones $S/F$ de % de $E/F$ y los subgrupos $H$ de % de$G$, y tenemos $$ S\leftrightarrow H\ffi H=\text{Aut}(E/S)\ffi S=E^H $$ $$ \implica[E:S]=|H|, $$ donde $E^H$ es fijo subcampo de $H$ donde $[E:S]$ es el grado (que es la dimensión) de $E$ sobre $S$, y donde $|H|$ es el orden de $H$.

PRUEBA

Reclamamos:

(a) Si $S/F$ es un sub-extensión de la $E/F$,, a continuación,$[E:S]=|\text{Aut}(E/S)|$.

(b) Si $H$ es un subgrupo de $G$,, a continuación,$|H|=[E:E^H]$.

La prueba de que (a) y (b) implica el teorema. Deje $S/F$ ser un sub-extensión de la $E/F$ y poner $H:=\text{Aut}(E/S)$. Entonces tenemos trivialmente $S\subset E^H$, y (a) y (b) implica $$ [E:S]=[E:E^H]. $$ Por el contrario vamos a $H$ ser un subgrupo de $G$ y establezca $\overline H:=\text{Aut}(E/E^H)$. Entonces tenemos trivialmente $H\subset\overline H$, y (a) y (b) implican $|H|=|\overline H|$.

La prueba de (a). Deje $1\le i\le n$. Poner $K:=S(a_1,\dots,a_{i-1})$ e $L:=K(a_i)$. Basta comprobar que las $F$-incrustación $\phi$ de % de $K$ en $E$ tiene exactamente $[L:K]$ extensiones $F$-incrustación $\Phi$ de % de $L$ en $E$; o, equivalentemente, que el polinomio $p\in\phi(K)[X]$ que es la imagen en $\phi$ de la mínima polinomio de $a_i$ sobre $K$ ha $[L:K]$ distintas raíces en $E$. Pero esto es claro desde $p$ divide el producto de la $X-a_j$.

La prueba de (b). En vista de (a) es suficiente para comprobar $|H|\ge[E:E^H]$. Deje $k$ ser un entero mayor que el $|H|$, y elegir un $$ b=(b_1,\dots,b_k)\en E^k. $$ Debemos mostrar que el $b_i$ son linealmente dependientes sobre $E^H$, o, equivalentemente, que el $b^\perp\cap(E^H)^k$ es distinto de cero, donde $\bullet^\perp$ indica que los vectores ortogonales a $\bullet$ en $E^k$ con respecto al producto escalar en $E^k$. Cualquier elemento de $b^\perp\cap (E^H)^k$ es necesariamente ortogonal a $hb$ cualquier $h\in H$, por lo que $$ b^\asesino\cap(E^H)^k=(Hb)^\asesino\cap(E^H)^k, $$ donde $Hb$ es el $H$-órbita de $b$. Vamos a mostrar a $(Hb)^\perp\cap(E^H)^k$ es distinto de cero. Desde el lapso de $Hb$ en $E^k$ ha $E$-dimensión en la mayoría de los $|H| < k$, $(Hb)^\perp$ es distinto de cero. Elegir un vector distinto de cero $x$ en $(Hb)^\perp$ tal que $x_i=0$ por el mayor número de $i$ como sea posible entre todos los vectores distintos de cero en $(Hb)^\perp$. Algunos coordinar $x_j$ es distinto de cero en $E$, por lo que mediante la escala podemos suponer $x_j=1$ para algunos $j$. Desde el subespacio $(Hb)^\perp$ en $E^k$ es estable bajo la acción de la $H$, para cualquier $h$ en $H$ tenemos $hx\in(Hb)^\perp$, lo $hx-x\in(Hb)^\perp$. Desde $x_j=1$, la $j$-ésima coordenada de $hx-x$ es $0$, lo $hx-x=0$ por la elección de $x$. Ya que este tiene para todos los $h$ en $H$, $x$ es en $(E^H)^k$.

[A] Emil Artin, la Teoría de Galois, Conferencias dictadas en la Universidad de Notre Dame, en el Capítulo II, disponible aquí.

Versión en PDF: http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Pierre-Yves.Gaillard/BUZOS/Selected_Texts/st.pdf

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Aquí es la parte de la respuesta que ha no ha reescrito:

Aunque yo estoy muy interesado en la historia de la Teoría de Galois, sé casi nada sobre ella. Aquí hay un par de cosas en las que creo. Gracias por corregir si me equivoco. Mi fuente principal es el

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Projects/Brunk/Chapters/Ch3.html

Artin fue el primer matemático para formular la Teoría de Galois en términos de una red anti-isomorfismo.

La primera publicación de esta formulación fue van der Waerden del "Moderne Algebra", en 1930.

Las primeras publicaciones de esta formulación por Artin mismo eran "Fundamentos de la Teoría de Galois" (1938) y "Teoría de Galois" (1942).

Artin sí mismo no parece tener cada vez explícitamente afirmó este descubrimiento.

Suponiendo que todo esto es cierto, mi (probablemente ingenua) la pregunta es:

¿Por qué alguien que hace un descubrimiento revolucionario que esperar muchos años antes de su publicación?

Yo también espero que esto no es completamente ajena a la cuestión.

Answer 2

Hay un nuevo libro, L Martini y L Toti Rigatelli, La mente algebraica: teoría de Galois en el siglo XIX. No he visto el libro, solo el catálogo de Birkhauser que lo anuncia para el verano de 2010. "El objetivo de este libro es discutir el desarrollo de la teoría de Galois desde 1830 hasta principios del siglo XX ..."

No pude encontrar ningún rastro del libro en el sitio web de birkhauser.

Answer 3

Hay una muy interesante ponencia

van der Waerden, B. L. Morir Galois-Theorie von Heinrich Weber bis Emil Artin. Arch. Hist. Exacto De La Lesión. 9, 240-248 (1972); DOI: 10.1007/BF00327305, jstor.

En este documento se van der Waerden critica un papel por debajo de la de papel

Kiernan, Melvin El desarrollo de la teoría de Galois de Lagrange para Artin. (En Inglés) Zbl 0231.01003 Arch. Hist. Exacto De La Lesión. 8, 40-154 (1971); doi: 10.1007/BF00327219, jstor.

Él dice que el Kiernan del tratamiento de Lagrange a Webber es bastante buena, pero la de Weber, Artin no es la adecuada (para él).

Hay una sección completa de Hilbert contribución (y su escuela) en la teoría de Galois. En particular, él escribe en Zahlberichtes Hilbert, demuestra que el normal teorema de la base de abelian extensiones y Noether (1931) y Deuring (1932) tratar el caso general de la normal bassi teorema.