Temas matemáticos contemporáneos

Question

La presencia de fructífera matemático temas sugiere que la unidad de las matemáticas. Lo que quiero decir por un matemático tema aquí es una idea básica o principio rector que motiva o dirige las preguntas centrales de un tema. Algunos ejemplos clásicos son la "representación", "clasificación" y tal vez "dualidad". Otro ejemplo que parece (a mí) en la actualidad, más activo es la "rigidez", por que me refiero a la exploración de las condiciones bajo las cuales débil equivalencia de un par de objetos implica más fuerte de equivalencia.

En el interés de ver la dirección general de la matemática contemporánea como la resultante de estos temas, me pregunto:

Pregunta: ¿cuáles son los principales matemáticos temas de manejo matemático exploración de ahora?

Una buena respuesta debería incluir no solamente el tema en cuestión, pero, al menos, dos áreas específicas de las matemáticas en la que las fuertes corrientes de investigación impulsado por el tema. Por ejemplo, la "rigidez" del tema anterior está fuertemente la conducción de la teoría de la finitos álgebras de von Neumann (como puede verse por ejemplo en la Popa de la deformación/rigidez de la teoría), pero aparece también en ergodic theory, geométrico teoría de grupos y la geometría diferencial. Por supuesto, la rigidez de las preguntas tienen sentido en cualquier área en la que hay un heierarchy de equivalencias de varias fuerzas, pero a ciertas áreas (debido a la idoneidad de las técnicas disponibles) son más fuertemente impulsada por los esfuerzos para responder a estas preguntas de otras áreas. Sería bueno tener una idea de qué áreas son impulsados por el cual los temas y (tal vez) por qué. Podría decirse, es el estado del arte de las técnicas en un área en la que la unidad de los temas, sino también aquellas técnicas que probablemente se desarrollaron debido a sus asociados tema fue natural.

Answer 1

Estabilidad. Yo interpreto esto en un sentido muy general. Si Una implica B, hace una pequeña perturbación de Una implica una pequeña perturbación de la B? Este "tema" es omnipresente. Omito la discusión de la noción clásica de Lyapunov de la estabilidad...

Y doy sólo dos ejemplos, según sea necesario.

I. Un sistema dinámico que se llama "estructuralmente estable" o "robusto", si una pequeña perturbación de la dinámica (en una función adecuada en el espacio) conduce a la "comportamiento de la misma", por ejemplo el preturbed sistema es topológicamente conjugadas a la imperturbable uno.

Véase, por ejemplo, MR0925417 Andronov, A. A.; Vitt, A. A.; Khaĭkin, S. È. La teoría de los osciladores, Dover Publications, Inc., Nueva York, 1987.

Para un ejemplo más reciente de la misma, ver MR0732343 Mañé, R.; Triste, P.; Sullivan, D. En la dinámica de racional de los mapas, Ann. Sci. École Norma. Sup. (4) 16 (1983), no. 2, 193-217.

II. El teorema de Liouville dice que conformal los mapas en Euclidiana espacios de dimensión $n\geq 3$ son "trivial", es decir, son las restricciones de M\"obius transformaciones. ¿Qué pasa si un mapa es "cerca de conformación"? Hay una buena definición precisa de esta: quasiconformal con pequeña dilatación.
Ver el maravilloso libro de Reshetnyak,

MR1326375 Reshetnyak, Yu. G. la Estabilidad de los teoremas en la geometría y el análisis, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1994.

III. Un ejemplo de problema sin resolver (debido a Fedya Nazarov). Un clásico teorema de Rado dice que si $f$ es una función continua en una región en el plano complejo, y $f$ es analítica en el set $\{ z:f(z)\neq 0\}$ entonces $f$ es analítica en todas partes. Lo que si $f$ es conocido por ser analítica en el set $\{ z:|f(z)|>\epsilon\}$. Es que a nivel mundial cerca de una analítica de la función en algún sentido? Dar una estimación cuantitativa en términos de $\epsilon$.

Todo el mundo puede añadir sus ejemplos favoritos de estabilidad.

Answer 2

Métodos probabilísticos se han convertido en una herramienta importante en muchas áreas. La idea es mostrar la existencia de estructuras de satisfacer ciertas propiedades mediante la definición de una adecuada aleatorios modelo de la estructura, y demostrar que la propiedad tiene con alta probabilidad. Los ejemplos incluyen:

1. Al azar regular los gráficos son expansores
2. Gromov la noción de azar a los grupos, que se han utilizado para construir hiperbólico grupos con diversas propiedades, entre ellas la propiedad de T, el Haagerup de propiedad, superficie de subgruposy grupos que no incorpora de manera uniforme en el espacio de Hilbert
3. Filas de curvas elípticas
4. Construcciones de cerrado de las superficies en hiperbólico 3-variedades mediante pegado "al azar" pares de pantalones, en donde los pantalones son muestra de satisfacer ciertas restricciones geométricas, con alta probabilidad, distribuidos uniformemente por ergodic teórico de los métodos.

Answer 3

La dicotomía entre la estructura y la aleatoriedad es uno de estos temas. El Tao del documento se centra en la aditivo de la teoría de números, donde la idea es que casi todos los conjuntos son altamente estructurados (por ejemplo, contienen progresiones aritméticas) o similar a un conjunto aleatorio. Pero temas similares aparecen en la teoría de la complejidad computacional; baja complejidad computacional asociada con la estructura y la alta complejidad computacional asociada con la aleatoriedad. Razborov y Rudich del resultado en las pruebas naturales libre puede ser considerado como un argumento de que ciertos tipos de pruebas simples de P≠NP son altamente improbable debido a que implicaría la existencia de una gran estructura en la aleatoriedad de la mayoría de la gente puede esperar.