El papel de ANR en la topología moderna

Question

Absoluta barrio se retrae (ANRs) son espacios topológicos $X$ cual, siempre $i\colon X\to Y$ es una incrustación en un espacio topológico $Y$, existe un entorno $U$ de % de $i(X)$ en $Y$ y una retracción de $U$ a $i(X)$. Ellos fueron inventados por Borsuk en 1932 (Über eine Klasse von lokal zusammenhängenden Räumen, Fundamenta Mathematicae 19 (1), p. 220-242) y han sido objeto de una gran cantidad de acontecimientos de 1930 a los años 60 (Hu de la monografía sobre el tema data de 1965), siendo un tema central en la topología combinatoria.

El descubrimiento de que estos espacios tenido buenas topológico (conexión local), homológica (finitud en el caso compacto) e incluso homotopical propiedades debe haber sido un fuerte impulso para el desarrollo de la teoría. También, probablemente desempeñado algún papel en el descubrimiento de la homotopy extensión de la propiedad (es fácil extender homotopies cuya fuente es un espacio normal y objetivo de un ANR) y de cofibrations.

Tengo la impresión de que este más o menos poco a poco dejó de ser así en los años 70: un básico MathScinet de búsqueda no se refiere que muchos de los trabajos recientes que, aunque parecen ser utilizada como una herramienta importante en algunos trabajos recientes (un colega señaló a mí los de Steve Ferry).

Mi pregunta (que no quiere ser subjetivo ni argumentativa) es la siguiente: ¿cuál es la importancia de esta noción en los modernos desarrollos de la topología algebraica?

Answer 1

Otra razón por la que usted no puede ver la palabra ANR en estos días es que el compacto finito-dimensional espacios son ANRs si y sólo si son localmente contráctiles. Por lo tanto, "finito-dimensional y locales contráctiles" puede reemplazar a la ANR en el enunciado de un teorema (y puede ayudar a que el resultado de la apelación a un público más amplio).

En la comparación de la geometría, por ejemplo, la existencia de una contractibilidad función toma el lugar de la ANR condición.

Borsuk conjeturó que compacta ANRs deben tener la homotopy tipos de finito simplicial complejos. Chapman y Oeste demostrado que incluso han preferido simple-homotopy tipos. Esto es parte de la "invariancia topológica de torsión" paquete, y es un resultado sorprendente. Cada compacto, finito-dimensional, localmente contráctiles espacio ha preferido finito combinatoria estructura que está bien definido hasta (incluso locales!) simple-homotopy se mueve.

Answer 2

ANRs son (y siempre lo han sido) irrelevante, siempre y cuando homotopy-propiedades invariantes de espacios homotopy equivalente a CW-complejos de que se trate. Pero moderno algebraicas topologists no parecen estar muy interesados en (o de todos modos tienen verdaderas herramientas para lidiar con) más general de espacios AFAIK. (Por supuesto, "general " tonterías" como simplicial modelo de categorías de obras generales de espacios, pero si usted está usando alguna de invariantes como homotopy grupos o singular (co)homología de teorías para obtener substantinal resultados que no mencionan los invariantes, es probable que necesite teoremas como el de Whitehead, s - lo que significa que la restricción para espacios homotópica a CW-complejos.)

Teoría de forma lo hizo ir más allá de los espacios homotópica a CW-complejos. Pero ser un ANR no es una forma invariante de la propiedad. Es un invariante de forma local (que Ferry, Quinn, Hughes y sus colaboradores se tocan en sus obras) y, de hecho, Quinn escribió una vez un expositiva papel en "Local topología algebraica". No creo que estos "locales" desarrollos han sido siempre de interés para los (principales) topología algebraica, pero tienen muy buenas aplicaciones en geometría topología de modo que se asocian generalmente con el último.

Esta área de la topología geométrica, donde ANRs y topológica de los colectores natuarally pertenecen, no ha dejado de caer fuera de la moda con las generaciones más jóvenes (desde los años 80, yo diría, no de los años 60), al parecer debido a que es muy difícil, pero no tan atractivo para un outsider como nudos, dicen. Que bien podría ser un problema de las generaciones en lugar de un "error" en ANRs.

Answer 3

Creo que la respuesta tiene que ver más con la psicología de mathematicans como una cultura que con los hechos matemáticos.

Yo no estaba vivo durante el período en el que las ANRs fueron mencionados en la topología de la literatura, pero he leído bastante a algunos de los primeros topología de papeles y también notó antes de los años 60, la gente no podía no hablar de ellas, y después se fueron casi nunca se menciona.

Creo que esto es principalmente debido a la más formal lado de la topología algebraica, con categorías de modelo. Con la terminología cofibration uno podría en gran medida evitar hablar de la ANRs y regular los barrios. Usted, por supuesto, podría continuar a hablar de esas cosas, pero si usted está tratando de escribir algo corto y conciso, con tan pocas confuso lado de las carreteras como sea posible, usted podría omitirlo.

Así que rápidamente la gente se dio cuenta que no había necesidad de hablar de ANRs. Pienso que este tipo de cosa que sucede bastante a menudo en matemáticas, especialmente cuando la definición de un concepto tal vez un poco pierde la marca de lo que usted está buscando, o si no es tan general como la que usted realmente necesita. La terminología como esta ciclos dentro y fuera de las matemáticas con bastante frecuencia.

Usted podría marco de este en términos de largo plazo de la supervivencia de un concepto matemático-matemáticas verborrea evolución. La falla en ANRs es que no previeron que el punto establecido fundaciones sería menos de un enfoque de la topología, que el campo iba a pasar y llegar a ser más escalable.

Answer 4

¿Qué hay de las variedades de homología ANR?
Ver http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/homology/tophom.pdf para un artículo importante sobre el tema.

Si entiendo correctamente, la gente espera (¿o sabe?) Que estos múltiples homólogos de ANR tienen grupos de homeomorfismo transitivo. Los posibles modelos locales están indexados por los enteros, y el valor 0 corresponde a$\mathbb R^n$, es decir, a la noción de variedad topológica.