¿Qué clasifica un etale topos?

Question

Cualquier topos de Grothendieck E es la "clasificación de los topos" de algunos teoría geométrica, en el sentido de que geométrica morfismos F→E puede ser identificado con "los modelos de la teoría de la" interna para el topos F. Para el topos de poleas en un sitio C, la corresonding teoría puede tautologically ser llevado a ser "la teoría de la cubierta de la preservación de la plana functors en C." sin Embargo, para algunos que surge naturalmente toposes de interés, los clasificados de la teoría tiene una forma diferente, más intuitiva de expresión. Por ejemplo, el topos de simplicial conjuntos clasifica lineal pedidos con distintos criterios de valoración, y el "Zariski topos" clasifica a los locales de los anillos.

Mi pregunta es: si X es un esquema decir afín para la simplicidad—entonces, ¿qué teoría su (petit) etale topos $Sh(X_{et})$ clasificar? Puede ser expresado en una bonita manera intuitiva, mejor que la "cubierta de la preservación de la plana functors en el etale sitio"? Espero que sospecha que debe tener algo que ver con "geométrico de los puntos de X", pero no estoy seguro de cómo formular que como una teoría geométrica.

Answer 1

Clasifica lo que la escuela Grothendieck llama "anillos locales estrictos". Los puntos de tales topos son anillos henselianos estrictos (anillos henselianos con un campo de residuos separado por separado). Consulte la tesis de Monique Hakim ( Topos annelés et schémas relatifs $\operatorname{III.2-4}$) para obtener una prueba y una definición más precisa de lo que constituye un "anillo local estricto" en un topos.

Answer 2

Para un esquema general $(X,\mathbb{O}_X)$, el étale topos sobre $X$ clasificar a la estricta henselisation (también llamado el separables cierre) de la configuración regional del anillo de $\mathbb{O}_X$.

El resultado es claramente debido a Monique Hakim en su tesis ("topos annelés et schémas relatifs"), pero como ella no se utilizan en absoluto el concepto de lógica interna no hay ninguna descripción de la precisión geométrica de la teoría de los involucrados. Así que si usted busca una completa y definitiva respuesta a esta pregunta, usted debe buscar en :

G. C. Wraith - Genérico Galois, teoría de anillos locales

que, de hecho, dar una descripción clara de la teoría de los involucrados.