¿Todos los paquetes de fibras superiores a$S^2$ ampliables a$\mathbb{C}P^\infty$?

Question

Me encontré con la siguiente comprobación de validez. Es el siguiente afirmación verdadera?

Cada suave haz de fibras (con compacto de fibra) sobre $S^2$ puede ser extendido a un suave haz de fibras de más de $\mathbb{C}P^\infty$ (o $\mathbb{C}P^n$).

Para el caso de $\mathbb{C}P^2$, si el paquete es una de las principales paquete, entonces puede ser extenso, ya que los $\pi_3(BG)=\pi_2(G)=0$. Así que pensé posibles contraejemplos podría venir de una fibra $F$, con $\pi_2(\text{Diff}(F))\ne 0$, por ejemplo $\text{Diff}(S^1\times S^2)\simeq O(2)\times O(3)\times \Omega SO(3)$, pero parece que el haz de fibras puede ser ampliado, ya que $S^3\rightarrow S^2\rightarrow B(\text{Diff}(S^1\times S^2))$ es todavía nullhomotopic.

Actualización: El contraejemplo es proporcionado en el Oscar del post, cuando la fibra es $(D^7,\partial D^7)$. Ahora mi pregunta es, si la fibra es un colector cerrado, la siguiente declaración es verdad?

Cada suave haz de fibras(con el cierre de la fibra) sobre $S^2$ puede ser extendido a un suave haz de fibras de más de $\mathbb{C}P^\infty$ (o $\mathbb{C}P^n$).

De hecho, este debe ser mi pregunta original, pero de alguna manera me escribió "compacto", pero con "cerrado" en la mente. Estoy realmente lo siento.

Answer 1

No, No es así, pero tuve que cavar muy profundo para obtener un contraejemplo. Veamos liso $(D^7, \partial D^7)$-paquetes de más de $S^2$, yo.e $D^7 \to E \overset{\pi} \to S^2$ con una identificación $\partial E \cong S^2 \times \partial D^7$. Estos se clasifican por un mapa $$f : S^2 \to BDiff_\partial(D^7)$$ para la clasificación de espacio del grupo de diffeomorphisms de $D^7$ en relación a la frontera. Voy a demostrar que existe una $f$ que no se extiende a $\mathbb{CP}^2$.

Suavizado de la teoría da una identificación $$BDiff_\partial(D^7) \simeq \Omega^7\left(\frac{TOP(7)}{O(7)}\right)$$ y por página 246 de Kirby--Siebenmann el mapa $$\Omega^7\left(\frac{TOP(7)}{O(7)}\right) \to \Omega^7\left(\frac{TOP}{O}\right)$$ es 2-conectado, así que hay un surjection $$\pi_2(BDiff_\partial(D^7)) \to \pi_9(\tfrac{TOP}{O}) \quad \quad(*).$$ Para encontrar un ejemplo de un paquete que no se extiende más de $\mathbb{CP}^2$, por lo tanto, es suficiente para demostrar que el mapa $$- \circ \eta : \pi_9(\tfrac{TOP}{O}) \to \pi_{10}(\tfrac{TOP}{O}) \quad \quad(**)$$ dada por la precomposición con la (convenientemente suspendida) Hopf mapa no es trivial.

La cirugía de la teoría de la $\pi_n(\tfrac{TOP}{O}) \cong \Theta_n$, el grupo de homotopy $n$-esferas, y un homotopy $n$-esfera tiene un Giro único de la estructura, la determinación de un $\pi_n(\tfrac{TOP}{O}) \cong \Theta_n \to \Omega^{Spin}_n$, que podemos componer con la Atiyah--Bott--Shapiro mapa $$\alpha : \Omega^{Spin}_n \to KO_n.$$ La aplicación de esta construcción a ambos lados, el mapa de $(**)$ anterior se transforma en el mapa $$- \circ \eta : KO_9 = \mathbb{Z}/2 \to KO_{10} = \mathbb{Z}/2,$$ que es un isomorfismo. Finalmente, es bien conocido que $$\pi_n(\tfrac{TOP}{O}) \cong \Theta_n \to \Omega^{Spin}_n \to KO_n$$ es surjective para $n \equiv 1,2 \mod 8$.

Así que elige un $f' \in \pi_9(\tfrac{TOP}{O}) \cong \Theta_9$ que no es trivial en virtud de la Atiyah--Bott--Shapiro mapa, y utilizar ese $(*)$ es surjective para levantar a un $f \in \pi_2(BDiff_\partial(D^7))$. Este tiene la propiedad deseada.

Anexo

La siguiente táctica puede ser utilizado para obtener un cerrado de fibra de ejemplo. El producto de la natural mapas de $SO(n+1) \to Diff^+(S^n)$ e $Diff_\partial(D^n) \to Diff^+(S^n)$ da un mapa $$SO(n+1) \times Diff_\partial(D^n) \to Diff^+(S^n)$$ que es un débil homotopy de equivalencia (aunque no es un homomorphism). Por lo tanto el mapa $$BDiff_\partial(D^7) \to BDiff^+(S^7)$$ es (split) inyectiva en todo homotopy grupos, por lo que el ejemplo anterior también da una orientada a $S^7$-paquete de más de $S^2$ que no puede extenderse a $\mathbb{CP}^2$.