¿Cuáles son las implicaciones de la conjetura de bucle simple?

Question

Drew Zemke ha publicado recientemente un preprint en arXiv probar el Bucle Simple Conjetura de 3-variedades modelado en Sol.

Bucle Simple Conjetura: Considere la posibilidad de un 2 caras de la inmersión de la $F\colon\, \Sigma\rightarrow M$ de los cerrados de la superficie orientable $\Sigma$ en un cerrado 3-colector $M$. Si $F_\ast \colon\, \pi_1 \Sigma \rightarrow \pi_1 M$ no es inyectiva entonces es esencial simple curva cerrada en $\Sigma$ que representa un elemento en el núcleo de $F_\ast$.

Si $F$ fueron una incrustación luego de esto se seguiría de Papakyriakopoulos de Lazo del Teorema. "Para ser una incrustación" no es una expresión algebraica de la propiedad, por lo que el Bucle Simple Conjetura es más de un `$ \pi_1$ a las 3-variedades' declaración de que el bucle teorema. Nos permite reemplazar la no-$\pi_1$-inyectiva inmersiones por inmersiones de menor género de las superficies por la cirugía en paralelo paso a un subgrupo normal; por Lo que se hace traducir del álgebra a la topología.

Joel Hass demostrado la conjetura de Seifert-fibrado espacios utilizando geométrica de las técnicas en 1987, y Hyam Rubinstein y Shicheng Wang demostrado la conjetura en 1998 para no trivial gráfico colectores (no Sol).

En Kirby lista de problemas , se dice también que el Bucle Simple Conjetura surge en el intento de caracterizar 3-colector de grupos entre la dualidad de Poincaré grupos, pero no estoy seguro de lo que Kirby medios. También no sé qué más es lo que implica.

Pregunta: ¿Qué cosas maravillosas que iba a seguir desde el Bucle Simple Conjetura si fuera verdad? Más allá de ser un "natural" y más allá de las consideraciones abstractas traído anteriormente, ¿cuál es la importancia de esta conjetura?

Answer 1

El bucle simple conjetura puede ser visto como una declaración acerca de cómo construir todas las superficies en una 3-variedad.

Arreglar cualquier orientable 3-colector de M. Hay dos conocidos construcciones que producen orientado a las superficies en M.

1. Comience con una esfera que rodea una pelota, y sucesivamente agregar un número finito de 1-asas (que permite la auto-intersecciones).

2. Empezar con una superficie subgrupo de π1(M), o, equivalentemente, con una inmerso π1-inyectiva superficie, y agregar un número finito de 1-asas, (de nuevo lo que permite la auto-intersecciones.)

Eso le produce todas las superficies sumergidas en M?
Sí, si y sólo si el bucle simple conjetura es verdadera.

Answer 2

Me gustaría motivar el bucle simple conjetura de la siguiente manera. (Estoy bastante idiosincrásicos acerca de esto, me temo que voy a apagar muchos 3-colector de topologists.)

Así como la comprensión de los espacios, queremos entender los mapas entre ellos. Un ejemplo de esto es que sería muy útil tener algún tipo de "clasificación" de el conjunto de todos los mapas de su favorito (cerrado, digamos) de la superficie de $\Sigma$ a cualquiera de las 3-variedades

Lo que podría tal entendimiento parece? Si reemplazamos las 3-variedades por los gráficos, a continuación, la respuesta es proporcionada por un folclore teorema, a menudo atribuido a la Stallings o Zieschang.

El folclore teorema: Cada mapa continuo de $\Sigma$ a un gráfico de $\Gamma$ mata esencial, una simple curva cerrada.

Esto encaja en Sela, en el marco de Makanin--Razborov diagramas (en grupos), donde se supone que el natural homomorphism $\pi_1\Sigma\to F$ inducida mediante la inclusión de $\Sigma$ en el límite de un handlebody formas el Makanin--Razborov diagrama de $\pi_1\Sigma$.

Por lo que el bucle simple conjetura es el análogo de la declaración sobre las 3-variedades. Básicamente, nos llevaría a tener un relativamente nebuloso de la comprensión de lo que el conjunto de todos los mapas de $\Sigma$ a un 3-colector podría parecer, a una relación bastante completa comprensión.

Usted podría decir: "bien, pero ¿qué es tan especial acerca de las superficies?" De hecho, las superficies de jugar un gran papel, porque de la forma en que surgen naturalmente en JSJ teoría. Por esta razón, ellos son uno de los principales casos; si podemos entender los mapas de las superficies a las 3-variedades, tenemos una oportunidad de entender los mapas de arbitrario asféricas espacios a las 3-variedades.

Answer 3

He llegado a través de esta conjetura en preguntas acerca de Dehn rellenos. Supongamos que uno tiene un hiperbólico 3-colector con toro límite, y uno realiza una Dehn de llenado para obtener una 3-variedad que no es hiperbólico. Entonces no es un elemento esencial de la superficie en la 3-variedad de género $0$ o $1$ (esencial toro o una esfera, o un plano de la superficie de delimitación algún múltiplo de la base de la Dehn de llenado que se contráctiles). Uno puede tirar de esta superficie de vuelta a la 3-variedad con toro límite hasta homotopy para que se convierta en un pinchazo en un género $\leq 1$ de la superficie, que es simple bucle inyectiva (aviso esto es para superficies con límite, pero se reduce al caso cerrado, al doblar). Ahora nos gustaría saber que esta superficie es $\pi_1$-inyectiva con el fin de hacer ciertos argumentos geométricos.