Intuitivamente, el grupo de Galois (de una división de campo de más de $\mathbb Q$) de un polinomio $f\in\mathbb Q[X]$ tomados al azar es más probable que el pleno de la permutación de grupo en las raíces de $f$. Esta intuición puede ser hecho preciso de la siguiente manera.
Primaria: Para inegers $d \geq 1$ e $N \geq 1$, considerar el conjunto $P_{d,N}$ de los polinomios en una variable de grado $\leq d$ cuyos coeficientes tienen valor absoluto $\leq N$. El conjunto $P_{d,N}$ es finito, y que podemos considerar el subconjunto $Q_{d,N}$ de los $f\in P_{d,N}$ cuyo grupo de Galois es la plena grupo simétrico $S_d$. Entonces, ¿es cierto que la relación de $|Q_{d,N}|/|P_{d,N}|$ va a las $1$ as $N$ va al infinito? Si es así, hay una buena estimación de la velocidad de convergencia?
Menos de primaria, pero sigue siendo el mismo: Vamos a $k$ ser un campo de número. Para un entero $d\geq 1$, identificar $k$--puntos de la $d$--dimensiones proyectivas espacio de $\mathbb P^d$ con un valor distinto de cero polinomios de grado $\leq d$ sobre $k$ hasta los escalares. De esta manera, podemos hablar de que el grupo de Galois de un punto de $f\in \mathbb P^d(k)$. Para un entero $N$, vamos a $p_{d,N}$ el número de puntos de $P^d(k)$ de la altura de la $\leq N$, y deje $q_{d,N}$ el número de puntos de la altura de la $\leq N$ y con grupo de Galois $S_d$. Entonces, es cierto que $$\frac{q_{d,N}}{p_{d,N}}\to 1$$ como $N$ va al infinito? Y de nuevo, hay una buena estimación de la velocidad de convergencia?
Comentario: El subconjunto de $\mathbb Q^{d+1} = \mathbb A^{d+1}(\mathbb Q)$ de los elementos de la $(a_0,\ldots, a_d)$ de manera tal que el grupo de Galois del polinomio $f = a_0+a_1X+\cdots+a_dX^d$ es $S_d$ es Zariski denso en $\mathbb A^{d+1}$. Esto es así debido a que el grupo de Galois del polinomio genérico $f = t_0+t_1X+\cdots+t_dX^d$ con indeterminates $t_0,\ldots, t_d$ sobre $\mathbb Q(t_0,\ldots, t_d)$ es $S_d$ y el hecho de que $\mathbb Q$ (o cualquier número de campo) es un Hilbertian campo.
