¿Qué tiene de malo definir el rango de un módulo finitamente generado sobre cualquier anillo (conmutativo) para que sea el número más pequeño de generadores? Todos los libros que conozco definen el rango solo localmente de esta manera. Pero, ¿por qué no definirlo globalmente?
Respuesta
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desde tu perfil dice que usted está interesado en la Geometría Algebraica, aquí son geométricos consideraciones que podrían apelar a usted.
Considere la posibilidad de un módulo proyectivo $P$ finito de escribir sobre un anillo conmutativo $A$. Corresponde a un local libre de gavilla $\mathcal F $ sobre $X=Spec(A)$. El rango de $\mathcal F $ en el primer ideal $\mathfrak p$ es el de la libre $A_{\mathfrak p}$-módulo de $\mathcal F_{\mathfrak p}$. El rango es localmente constante de la función en $X$ e si $X$ está conectado (esto significa que la única idempotents en $A$ se $0$ e $1$) puede ser visto como un entero.
Si $A$ es un dominio, entonces $X$ es, sin duda conectado y tiene un punto genérico $\eta$ cuyo anillo local es el campo de fracciones de $\mathcal O_\eta=K=Frac(A)$. El rango de $\mathcal F $ o de $P$ es simplemente la dimensión de la $K$ espacio vectorial $P\otimes_A K$.
En realidad, si $A$ es un dominio, esta fórmula puede ser utilizada para definir el rango de cualquier $A$-módulo de $M$ (proyectiva o no, finitely generado o no) : $rank(M)=dim_K ( M\otimes_A K) $ .
Esta es la definición dada por Matsumura en su libro Conmutativa Anillos, página 84.
Se corresponde con el máximo número de elementos de $M$ que son linealmente independientes sobre $A$.
El mínimo número de generadores de $M$ (que comenzó esta discusión) es muy diferente, pero muy interesante, de todos los idiomas, que ha sido estudiado por Forster, el Cisne, Eisenbud, Evans,...
Geométricamente se corresponde con el número mínimo de global secciones de $\tilde{M}$ que generan esta gavilla en cada punto de $Spec(A)$.
Ejemplo elemental: Todos los no-cero ideal de un dominio de Dedekind es de rango uno, puede ser generado por dos elementos y puede ser generado por un elemento iff es director.
Si el dominio de Dedekind no es un PID no siempre existen no gratuito ideales que por lo tanto no puede ser generado por menos de dos elementos.
Bibliografía
Ischebeck y Rao han publicado una monografía de los Ideales y la realidad: descriptivas de los módulos y el número de generadores de ideales en este tema
