Recurrencia "Harmonacci" e identidades para $\pi$

Question

Mientras jugaba con algo totalmente irrelevante me topé con la recurrencia: $$a_{n+1} = \frac{1}{a_n} + a_{n-1}$$

Resulta que dado $a_0 = 1, a_1 = 1$ ,

$$lim \frac{a_{2n}}{a_{2n-1}} = \frac{\pi}{2}$$

Tengo una idea muy rudimentaria (o más bien una pista) para demostrarlo (las iteraciones se desdoblan en una especie de producto de Viete, lo cual es de esperar), pero mi técnica está oxidada en el mejor de los casos.

Con diferentes condiciones iniciales, las cosas empiezan a ponerse realmente espeluznantes, por ejemplo $ a_0 = 2, 3, 4, 5 $ rendimiento $\frac{8}{\pi}, \frac{9\pi}{8}, \frac{128}{9\pi}, \frac{225\pi}{128}$ respectivamente.

Así que las preguntas son: ¿Es un hecho conocido? Si es así, ¿dónde puedo leer más al respecto? Si no es así, ¿alguien puede ayudarme a demostrarlo o refutarlo? ¿Significa algo?

Answer 1

La secuencia $a_n$ está estrechamente relacionado con el producto de Wallis $$a'_n = \prod_{i = 1}^n \left(\frac{2i}{2i - 1} \frac{2i}{2i + 1}\right),$$ que converge a $\pi/2$ como $n$ llega hasta el infinito. Es decir, tenemos $$a'_n = a_{n + 1} \cdot \frac{2n}{2n + 1}$$ . Esto podría demostrarse por inducción o quizás más fácilmente definiendo $b_n = a_n a_{n - 1}$ y observando que la recursión para $a_n$ implica la recursión (muy simple) $$b_{n + 1} = 1 + b_n$$ para $b_n$ y expresando $a_n$ en términos de $b_n$ .

Para valores más generales de $a_0$ se obtienen fórmulas similares para $a_n$ como (hasta un factor convergente a 1) un producto de Wallis o inverso de un producto de Wallis en el que faltan algunos de los términos inferiores del producto.