Cubierta característica y universal de Euler

Question

Deje $M$ ser un equipo compacto colector, vamos a $\tilde{M}$ su cobertura universal, y supongamos que la característica de Euler $\chi(\tilde{M})=0$. Mi pregunta es: ¿esto implica que $\chi(M)=0$? Esto es claro si $\pi_1(M)$ es finito, pero estoy interesado en el caso de $|\pi_1(M)|=\infty$.

Es posible que no se sienta a la derecha, pero no puedo pensar en ningún contraejemplo, ya sea.

Muchas gracias de antemano!

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EDIT: se me fue justamente se le preguntó a qué me refiero con característica de Euler de la (no compacta) colector $\tilde{M}$. Mi respuesta ahora es: la que quieras!

Lo que estoy pensando, es $\chi(\tilde{M})=\sum_i (-1)^i\dim H_i(\tilde{M},k)$, con $k=\mathbb{Q}$ o $\mathbb{R}$, e $H_i$ son ya sea el normal o el compacto compatible cohomology grupos.

En mi caso, $\tilde{M}$ retrae a un compacto de Lie del grupo.

Answer 1

Aquí un boceto prueba de que $\chi(\tilde{M})=0$ implica que el $\chi(M)=0$ de los grupos con determinados finitud propiedades.

La idea es adaptar el habitual espectral de la secuencia de la prueba de que la característica de Euler es multiplicativo en fibrations. Deje $k$ ser un campo de característica cero, y deje $\pi=\pi_1(M)$. El Cartan-Leray espectral de la secuencia de los regulares de la cubierta de la $\tilde M\to M$ ha $E^2 = H_p(\pi;H_q(\tilde M;k))$ y converge a $H_{p+q}(M;k)$. Pero también podemos ir a una página atrás y empezar de a $E^1 =F_p\otimes_{k[\pi]} H_q(\tilde M;k)$ donde $F_\bullet$ es un servicio gratuito de resolución de $k$ por $k[\pi]$-módulos. (Referencia: K. Brown, Cohomology de grupos, VII.5 y VII.7.) Ahora en un espectral de la secuencia de la característica de Euler de cada página es la característica de Euler de la anterior, por lo que es suficiente para comprobar que el $\chi(E^1)=0$ al $\chi(\tilde M)=0$.

Si el trivial módulo de $k$ admite un número finito de una resolución por $k[\pi]$-módulos, podemos elegir cada una de las $F_p$ a ser un finitely libres generados por $k[\pi]$ módulo, por lo $F_p$ es una suma directa de $k[\pi]^{n(p)}$ para algunos $n(p)$. Creo que conseguimos $F_p\otimes_{k[\pi]} H_q(\tilde M;k)\cong k^{n(p)}\otimes_k H_q(\tilde M;k)$ como espacios vectoriales, y el resultado se sigue de la forma habitual, ya que la característica de Euler de un producto tensor de finito dimensionales gradual espacios vectoriales es el producto de sus características de Euler.

Answer 2

Tome un hiperbólico, compacto, conectado, orientado$3$ - múltiple$M$. Entonces, la cobertura universal$\tilde{M}$ es contraíble y, por lo tanto,$\chi(\tilde{M})=\dim H_0(\tilde{M})=1$.