¿Qué hechos en el álgebra conmutativa fallan miserablemente para los anillos conmutativos simples, incluso hasta la homotopía?

Question

Simplicial conmutativa anillos son muy fáciles de describir. Son sólo conmutativa monoids en la categoría monoidal de simplicial abelian grupos. Sin embargo, me di cuenta de que, a priori, no está claro que incluso algunos de los más simples hechos que podemos probar para el común de los anillos conmutativos (en particular aquellos que dependen integralmente en el axioma de elección, o incluso aquellos que dependen de la ley del medio excluido) llevará a cabo para simplicial conmutativa anillos. Sin embargo, tenemos al menos una gracia salvadora. Es decir, las partes interesantes de simplicial álgebra conmutativa provienen de la consideración de las cosas hasta homotopy.

Así, por ejemplo, en la medida de como se hace el sentido, podemos demostrar que cada simplicial ideal de un simplicial anillo conmutativo es débilmente equivalente a la contenida en un máximo de simplicial ideal? Quizás una mejor manera de expresar esto sería algo como, "cada noncontractible simplicial conmutativa anillo admite al menos una surjective mapa a un simplicial conmutativa anillo que débilmente equivalente a un simplicial de campo", o alguna variación en la ubicación de la homotopy equivalencia aparece. Dado que el axioma de elección no necesariamente en $sSet$, no parece razonable pensar que el ordinario teorema se mantenga.

Existe una versión de Hilbert teorema de la base que sostiene a isomorfismo? ¿Y débiles de equivalencia?

¿Qué otros conocidos teoremas va a fallar, incluso hasta homotopy?

Answer 1

La mayoría de las cosas que dejan de funcionar son cosas relacionadas con los procedimientos en álgebra conmutativa que no preservar la exactitud. El producto tensor de simplicial módulos siempre tiene que ser la derivada del tensor de producto con el fin de ser significativa, etc.

Uno de los pegajosos puntos es que "libre" no es lo mismo que "polinomio" en los grados más altos, excepto en característica cero, y esto hace que la construcción de simplicial anillos de una generadores y relaciones de perspectiva bastante difícil.

Por ejemplo, si R es una corriente de anillo de considerarse como una constante simplicial anillo conmutativo (con homotopy R, concentrada en el grado 0), entonces usted puede tomar la libre simplicial R-álgebra en una clase x de grado n; déjame llamar a A. Si n=0, la homotopy grupos de a son sólo el polinomio de álgebra R[x] concentrada en grado cero. Si n=1, el homotopy grupos de a son un exterior álgebra de más de R en un generador en el grado 1. Si n=2, el homotopy grupos de a son un poder dividido álgebra en una R en un generador en el grado 2 (un simplicial conmutativa anillo siempre se ha dividido la estructura de poder en su mayor homotopy grupos). Si n>3 y 2R = 0, entonces la respuesta es siempre una contables producto tensor de exterior álgebras sobre R. Si n > 3 y pR = 0, se obtiene álgebras de cuya estructura es simplemente complicado (porque implica afirmar Tor de partida con un poder dividido álgebra).

Similares observaciones se aplican para tratar de construir un ideal generado por un conjunto de elementos en homotopy grupos que son otra cosa que una secuencia regular en $\pi_0$ - es poco probable que consiga el "cociente" usted esperar.

Answer 2

Dado un simplicial anillo de $A_\bullet$, que es el estándar que $\pi_0(A)$ es un anillo y $\pi_n(A)$ es un módulo sobre él, por lo $A_\bullet$ es débilmente contráctiles iff $\pi_0(A)=0$. También, $\pi_0(A)$ es sólo el cokernel de $d_0-d_1:A_1\to A_0$. Podemos tomar cualquier cadena de cara mapas de $A_n\to A_0$ y componer con la proyección de a $\pi_0(A)$, y esto es independiente de que la cadena elegimos. Estos mapas $A_n\to\pi_0(A)$ dar un surjective mapa de $A_\bullet$ a la constante simplicial anillo de $\pi_0(A)$. (Este es sólo el más simple pieza de la torre de Postnikov.) Si $\pi_0(A)\neq 0$ podemos componer con un surjective mapa a una constante simplicial campo.

Tenga en cuenta también que todos los simplicial campos son constantes. Esto es sólo porque el compuesto de $A_0\xrightarrow{s_0^n}A_n\xrightarrow{d_0^n}A_0$ es la identidad, por lo $d_0^n$ es surjective, pero todo el campo homomorphisms son inyectiva, por lo $d_0^n$ es un isomorfismo.

Creo que también trabaja fuera que un simplicial anillo es contráctiles como un simplicial grupo iff es débilmente contráctiles (porque se puede encontrar un elemento $x\in A_1$ con $d_0(x)-d_1(x)=1$, y, a continuación, shuffle-multiplicación por $x$ debe dar una contracción). Sería más fuerte para decir que hay una contracción por el anillo de los mapas. Yo no inmediatamente ver la imagen completa acerca de eso.

Answer 3

Tal vez es demasiado tarde para contestar, pero aquí es un clásico "epic fail" de la que estoy seguro que ya has visto en el disfraz:

Incluso para la constante de anillo de $\mathbb{Z}$, considerado como un simplicial anillo, corto exacta secuencias de libre módulos de rango finito (es decir, libre de abelian grupo finito de rango en cada grado) no dividir.

Simplicial libre abelian grupos son solo los complejos de abelian grupos. Breve secuencia exacta de complejos produce una larga secuencia exacta, y si el límite del mapa es distinto de cero, a continuación, que sin duda no dividir.

No tengo más conceptual manera de "explicar" esta, pero para mí es como tal el fracaso son causadas por algunos no abelian de entrada (por ejemplo, los que vienen de un espacio topológico o homotopy grupos).