Sí. Es conocido por ser trascendental. La secuencia de coeficientes de la serie es una variante de un Sturmian secuencia. Tiene muy baja complejidad. La definición de este: dejar que el dígito de la secuencia se $a_1,a_2,a_3\ldots$ tomando valores en $ \lbrace 0,1\ldots,d-1 \rbrace ^{\mathbb N}$. Un subword de longitud $k$ es una cadena de caracteres $a_ia_{i+1}a_{i+2}\ldots a_{i+k-1}$. La complejidad, $p(k)$, es una función de $\mathbb N$ a $\mathbb N$ de los que tomaron $k$ el número de subpalabras de la secuencia de longitud $k$.
En 2007 el papel en los Anales de las Matemáticas (vol 165, p547--565), Adamczewski y Bugeaud (En la complejidad de los números algebraicos. I. Expansiones en el entero de las bases) mostró que si un número es algebraico, entonces el dígito de la secuencia en la base de las $b$ ha complejidad de satisfacciones $p(k)/k\to\infty$.
En su caso, la complejidad de la secuencia de la base 2 dígitos satisface $p(k)=2k$. Cómo ven esto?
Definir un mapa de $f$ de $[0,1)$ a $\lbrace 0,1\rbrace$ por $f(x)=1$ si $x\in [0,1/2)$ y 0 en caso contrario.
El $n$th término de la secuencia es $f(\alpha n\bmod 1)$ donde $\alpha=1/(2\pi)$. Escribir $T$ para la transformación de $[0,1)$ a de $T(x)=x+\alpha\bmod 1$. A continuación, el $n$el plazo se acaba de $f(T^n0)$. El sub-bloque de la secuencia de dígitos de longitud $k$, empezando en el $j$th plazo es $f(T^j0)\ldots f(T^{j+k-1}0)$. Puesto que el $T^j0$ son densos en $[0,1)$, tenemos que preguntarnos ¿cuántos bloques de $f(x)\ldots f(T^{k-1}x)$ son posibles.
Considere la posibilidad de tomar $x=0$ y se mueve alrededor del círculo (=$[0,1)$) una vez. Como lo mueve, el $T^ix$ también cada movimiento alrededor del círculo una vez. La secuencia de cambios cada vez que uno de los $(T^ix)_{0\le i< k}$ cruces 0 o 1/2. Esto es un total de $2k$ cambios. Por lo tanto la secuencia de toma de $2k$ valores $x$ se mueve alrededor del círculo, por lo tanto la estimación de la complejidad.
