¿Cuándo vuelven los paseos aleatorios en 3D a su origen?

Question

La probabilidad de que una camino aleatorio volviendo a su origen es 1 en dos dimensiones (2D) pero sólo el 34% en tres dimensiones: Esto es El teorema de Pólya . He aprendido que en 2D la condición de volver al origen se mantiene incluso para distribuciones de tamaño escalonado con varianza finita, y como Byron Schmuland amablemente explicado en esta publicación de Math.SE incluso para distribuciones con infinita variación, la recurrencia depende de los detalles de la distribución de la cola de longitud escalonada. Pero todo esto es en 2D.

Mi pregunta es:

¿Existen condiciones en las distribuciones de tamaño y dirección de paso en tres dimensiones (3D) que aseguran que el paseo volverá al origen con una probabilidad de 1?

Por supuesto que excluyo aquí una distribución de dirección escalonada que aplasta el 3D → 2D. Pero quizás la compresión dimensional parcial sea suficiente.

(fuente)

(El crédito de la imagen de caminata aleatoria en 3D para http://logo.twentygototen.org/ .)

Answer 1

Para un argumento intuitivo bastante sólido, piense en un paseo aleatorio en $\mathbb{R}^d$ como el "producto" de $d$ paseos unidimensionales en $\mathbb{R}^1$ . Para un paseo aleatorio (de varianza finita) en $\mathbb{R}^1$ la probabilidad de que el paseo aleatorio esté dentro de $O(1)$ del origen después de $n$ escalas de pasos como $n^{-1/2}$ . Si el $d$ -de la caminata aleatoria fuera, literalmente, sólo el producto independiente de $d$ paseos unidimensionales, esto significaría que en $\mathbb{R}^d$ la probabilidad de que el paseo aleatorio esté cerca del origen después de $n$ pasos serían unos $n^{-d/2}$ y, efectivamente, esta respuesta es correcta. A grandes rasgos, entonces, la razón por la que el paseo aleatorio cambia de comportamiento entre $d=2$ y $d=3$ es que esto es cuando $\sum_n n^{-d/2}$ pasa de divergente a convergente.

Esta intuición sugiere que si su paseo es "verdaderamente" al menos $(2+\epsilon)$ -para algunos $\epsilon > 0$ entonces debería ser transitoria (si estás dispuesto a aceptar esta intuición de $n^{-d/2}$ comportamiento de los fraccionamientos $d$ ). Terry Lyons ha derivado una condición necesaria y suficiente para la transitoriedad de una cadena de Markov reversible que creo que formaliza y amplía esta intuición. En particular, la utiliza para demostrar una condición necesaria y suficiente para la transitoriedad de un paseo aleatorio simple sobre "cuñas" en $\mathbb{Z}^d$ . Especializando aún más su resultado, menciona que, dejando $\Omega$ sea el subgrafo de $\mathbb{Z}^3$ con $$ \Omega=\{(x,y,z) \in \mathbb{Z}^3, y \leq x, x \leq (\log(z+1))^{\alpha}\} $$ entonces el simple paseo aleatorio sobre $\Omega$ es transitorio siempre que $\alpha > 1$ . (Lo mismo ocurriría con cualquier paseo aleatorio de varianza finita restringido a estar en $\Omega$ aunque no estoy seguro de que el teorema de Terry Lyons demuestre esto en toda su generalidad). El gráfico $\Omega$ es sólo un muy ligero "engorde" de parte de $\mathbb{Z}^2$ y el paseo ya es transitorio. En cierto sentido, los paseos aleatorios en $\mathbb{Z}^2$ sólo "apenas" fallan en ser transitorios, y si van por encima de $\mathbb{Z}^2$ de cualquier manera serás inmediatamente transitorio.

Answer 2

¿Se refiere a los prejuicios fijos?

Si el sesgo no es un valor fijo como las matrices en $n$ -que he descrito anteriormente, podrías hacer que las probabilidades fueran una función de su ubicación en el $\mathbb{Z}^n$ de la celosía o una función de la posición actual de la distancia al origen. I

(respuesta original a continuación, válida para un caminante aleatorio insesgado fijo, o para un caminante aleatorio sesgado de valor fijo, donde el sesgo no es una función de la posición del caminante aleatorio)

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José, el sobre (límite más lejano alcanzable) de un paseo aleatorio insesgado sobre un $n$ -en el paso de tiempo $t$ es la región que contiene el origen y $|d_1| + |d_2| + ... + |d_n| \le t$ . Así que para $n=1$ esa región es el segmento de línea $-t \le x \le +t$ equivalente a $|x| \le t$ .

Para $n=2$ la región de la envoltura es la zona en forma de diamante $|x| + |y| \le t$ o la región delimitada por las cuatro líneas $x+y=1, x+y = -1, x-y=1, x-y=-1$ o, de forma equivalente, las cuatro líneas $y=x+1, y=x-1, y= (-x)+1, y= (-x)-1$ .

Para $n=3$ la región envolvente es la forma octoédrica en el $\mathbb{Z}^3$ -latino contenido en $|x|+|y|+|z| \le t$ .

El región de densidad de probabilidad del paseo aleatorio insesgado en $n$ -dimensiones se acerca a la $n$ -gaussiana de dimensión.

Así que para $n=1$ la región de la envolvente crece linealmente como $t$ y para $n=2$ la región de la envoltura crece proporcionalmente a $t^2$ etc., creciendo proporcionalmente a $t^n$ para $n$ dimensiones. Una vez que $n \gt 2$ La tasa de crecimiento de la envolvente supera rápidamente la tasa de la distancia media recorrida, y se hace muy improbable que el caminante aleatorio insesgado regrese al origen. Así lo he entendido yo. Una referencia de la parte superior de mi cabeza sería Margulis y Toffoli's Máquina de autómatas celulares libro de 1984 o 1985, ya que da una buena descripción de los modelos de autómatas celulares de difusión en $1$ y $2$ -dimensiones, y creo en $3$ -dimensiones también, aunque no estoy seguro. Creo que ahí es donde recuerdo haber leído sobre la "envolvente"; y recuerdo haber realizado mis propias simulaciones programadas para dibujar la envolvente y las distribuciones de probabilidad para 1-d y 2-d.

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En 1 dimensión, la distribución de probabilidad en el paso de tiempo $t$ son las circunvoluciones de $[0.5, 0.0, 0.5]$ con ella misma, y la envolvente es la región de esta convolución resultante donde las probabilidades son distintas de cero. También es equivalente a la expansión binomial, o cada dos filas del triángulo de Pascal divididas por la suma de los elementos de esa fila:

                    1

                 1  2  1              divided by four

              1  4  6  4  1           divided by 16

           1  6 15 20 15  6  1        divided by 64

Y el $2$ -es la versión de $2-d$ convolución de la matriz 2-d $M_2$

0    1    0

1    0    1

0    1    0

con ella misma $t$ números de veces (centrar la matriz en el origen como una matriz de imagen, dividirla por 4, y hacer una convolución bidimensional con $M_2$ para cada paso de tiempo para ver la evolución de la distribución de probabilidad).

Del mismo modo, en $3$ -d, el $M_3$ es la matriz tridimensional { $M_a \div 6; M_b \div 6; M_c \div$ 6} compuesto por los tres $2$ -d matrices $M_a, M_b, M_c$ que voy a escribir

$M_a$ =

0   0   0

0   1   0

0   0   0

$M_c=M_a$

$M_b=$

0   1   0

1   0   1

0   1   0

Y la distribución de probabilidad tridimensional en el paso de tiempo $t$ es el $t$ -ésima convolución de $M_3 \div 6$ con ella misma.

Si se prueban algunos pasos de la $3-d$ convolución, verás que la densidad de probabilidad en el centro va rápidamente a cero. Una vez que el número de dimensiones es mayor que $2$ El caminante aleatorio insesgado es más probable que se aleje en otras dimensiones donde está más cerca del origen, en lugar de acercarse al origen en las dimensiones donde ya está más lejos.

Answer 3

No, cualquier paseo aleatorio en 3D es transitorio. (verdadero en el sentido de que no es un paseo aleatorio 2d disfrazado)

Answer 4

La respuesta a su pregunta parece estar contenida en un Teorema de Polya de 1928, sobre trabajos aleatorios simples en una red $\mathbb Z^d$ . Como referencia blanda, véase la página 15 de este breve documento Utilizando sólo matemáticas muy básicas (fórmula de Stirling, etc.). El quid de la solución consiste en demostrar que en $3$ el número medio de retornos al origen es finito, por lo que al final te pierdes definitivamente.

Answer 5

Leer Barber, M. N. y Ninham, B. W. Random and Restricted Walks: Theory and Applications. New York: Gordon and Breach, 1970.