¿La conjetura de Leopoldt es casi siempre cierta?

Question

El famoso Leopoldt conjetura afirma que para cualquier campo de número de $F$ y cualquier prime $p$, la $p$-ádico regulador de $F$ es distinto de cero. Esto es conocido por ser equivalente a la desaparición de la $H^2(G_{F'/F},\mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}_p)$ donde $F'$ es la máxima pro-$p$ extensión de $F$ unramified fuera de $p$. Al $F/\mathbf{Q}$ es abelian, la hipótesis fue probada por Brumer.

Mi pregunta: ¿hay algún sentido razonable en el que el Leopoldt conjetura es "generalmente" verdadero - por ejemplo, es conocido por cualquier fija $F$ en casi todos los números primos $p$ o (por ejemplo) para casi todos los cuártica extensiones de $\mathbf{Q}$ con $p$ fijo? Un vistazo a través de la mathscinet revisión de todos los documentos con "Leopoldt conjetura" en su título no revelar nada, pero tal vez esto es bien conocido por los expertos.

Answer 1

Olivier y todos,

Si usted confía en sus propias mentes, es mejor tratar directamente y leer la versión 2 de la prueba para que sólo CM campos, que he publicado en junio de este años. El resto es aire caliente - la gente puede apostar, en frente de la lista de nombres que fracasó en Leopoldt usted puede poner las probabilidades para mi avance en torno al 1% -, sino que es sólo de lectura que puede proporcionar a su propio juicio acerca de si este 1 tiene más probabilidades que el complemento de 99. Yo enseño la prueba en clase desde hace 3 semanas y funciona muy fluida y los estudiantes pueden tomar a la construcción muy bien - vale decir, que se enriquece con muchos detalles, ya que es un 3-d año en curso (supongo que algo como la primera graduada año). Me dio la construcción de técnicas para los no CM campos, el Iwasawa sesgar simétrica de emparejamiento, y reducido a la skeletton de las principales ideas, exactamente en el fin de responder a los fuertes rumores acerca de mi expresividad.

Como para el Cambridge seminario mencionado, fue una gran experiencia - pero sucedió durante una semana cargado con importantes otros seminarios, y a pesar de la especial atención que se ofrecen, que no tienen más de 3 o 4 sesiones de dos horas, esto, ciertamente, no era suficiente para completar una prueba con todos los detalles, justo el tiempo para la recolección de algunas preguntas importantes y averiguar en qué tema en particular a la gente le gustaría saber más. Esto es tomado en cuenta en la presente versión.

También es cierto que Minhyong Kim, este amistoso y entusiasta compañero, me preguntó por mi subsidio para poner el proyecto en el blog, exactamente en la expectativa de que más estudiantes y jóvenes investigadores quisieran probar y probar, y plantear preguntas, que fueron muy bienvenidos. El impacto esperado no sucede. Por lo tanto, me amable invitamos a que simplemente leer. Cualquier persona que tenga preguntas concretas es con mucho gusto invitado a escribir un mail, si entiendo la pregunta que sus posibilidades son uno en mil que no voy a responder.

Lo siento si he invadido su discusión

Preda Mihailescu

Answer 2

Creo que no se conoce mucho. Por ejemplo, yo no creo que estamos más cerca de demostrar Leopoldt de la conjetura para un determinado $F$ para infinidad de $p$ que probarlo para todos los $p$.

Aquí es un resultado, sin embargo: para $K_n=$ cyclotomic campos generado más de $\bf Q$ (variante: fijo quadrqtic imqginary campo; sobre un fijo totalmente real campo) por las raíces de la unidad de la orden de $p^n$, el "defecto" de Leopoldt de la conjetura (la dimensión de la $H^2(K_n'/K_n,{\bf Q}_p)$) queda delimitada como $n$ va al infinito. Esto es una consecuencia de la principal conjetura conocido en este caso y en las variantes. Esto ya es un muy útil resultado (utilizado por ejemplo por Minhyong Kim en su hermosa nuevas pruebas de edad Diophantine resultados, tales como el teorema de Siegel para un CM de curva elíptica).

No, en realidad, en el mismo espíritu, pero de alguna manera similar a la brummer prueba de la abelian caso; es importante mencionar Waldschmidt hermoso resultado, que el defecto en Leopoldt la conjetura es en la mayoría de semestre de la licenciatura de $F$.

Ya que ambos Brumer resultado y Waldschmidt que tienen de la prueba utilizando fundamentalmente la teoría de la trascendencia, y por otras razones también, muchas personas (incluyéndome a mí) creo que que demostrando Leopoldt la conjetura se requieren de cierta trascendencia métodos (como opuesto como métodos de la teoría algebraica de números, automorphic formas, etc.). Pero "genérico" resultados de la tal y como pide la pregunta podría ser más accesible, si no simple.

Answer 3

La conjetura de Leopoldt parece haber sido probada ahora por Mihailescu:

http://arxiv.org/abs/0905.1274

De hecho, antes de eso, creo que Fujiwara había hecho un trabajo significativo al respecto (¿tal vez el caso de campos totalmente reales?).

Answer 4

Fix $p$. Leopoldt la conjetura es que el $p$-ádico regulador no se desvanecen. Ya que es una condición en la $p$-ádico números, el conjunto de los ámbitos en los que la conjetura es verdadera debe estar abierta. Eso suena como un buen avatar de tu pregunta, aunque no se puede dar la densidad como la topología de Zariski. También, esto es sólo una conjetura.

¿Y eso qué significa? Definir el $p$-ádico de la topología en el conjunto de los campos de número por la forma de las curvas de la prueba, que son parámetros finitos extensiones de $\mathbb Q(t)$. Cada unramified racional valor de $t$ le da una extensión de $\mathbb Q$. Para cada curva de la prueba se define un conjunto de campos de número y lo identifica con un cofinite subconjunto de $\mathbb Q$. Podemos transferir la $p$-ádico la topología en $\mathbb Q$ para el conjunto de los campos de número. Un subconjunto de los campos es $p$-adically abierto si su preimagen en cada curva de la prueba está abierta. En función de los campos de número de es $p$-adically continua si su pullback a cada curva de la prueba es.

Es el $p$-ádico regulador de una función continua de los campos de número? Yo lo dudo. Considerar la curva de la prueba $x^2=t$. Para el negativo $t$ no hay unidades, por lo que el regulador es de 1. Para los positivos $t$, no lo es. Así que, probablemente, las curvas de la prueba son demasiado grandes, y debemos hacer lo finito de la partición según Arquímedes comportamiento. Pero incluso después de la restricción de la real, cuadráticas, todavía no está claro porque la unidad fundamental de la que es difícil de controlar debido a la clase de grupo.

Pero hay algunas curvas de la prueba para que podamos control de unidades específicas para hacer un continuo de proxy para el regulador, y así demostrar que el conjunto de puntos de la satisfacción de Leopoldt la conjetura es abierto (aunque tal vez vacía). Específicamente, el Ankeny-Brauer-Chowla familia es la extensión de $\mathbb Q(a_1,\ldots,a_n)$ definido por $\prod (x-a_i)=1$. Cada especialización es un grado $n$ totalmente real campo con $n-1$ unidades independientes fácilmente se describe en términos del generador. El comportamiento de la extensión de $\mathbb Q_p$ es localmente constante, por lo que podemos pensar localmente de la $n-1$ unidades como variable de forma continua a través de una sola $p$-ádico de álgebra. Por lo tanto los logaritmos de las unidades varían de forma continua y así hacer que sus hijos menores. Este no es el regulador, ya que estas unidades no necesariamente genera todas las unidades, pero un máximo de menor importancia evitar el cero es equivalente a Leopoldt de la conjetura, por lo que la conjetura es abrir en esta variedad de prueba.

Tengo todo esto de aquí, que también se describe una generalización (de hecho, una de deformación) de ABC campos a los campos con lugares imaginarios.