¿Por qué es tan omnipresente la transformada de Fourier?

Question

Muchas operaciones y equivalencias en matemáticas surgen como algún tipo de transformación de Fourier. Con la transformada de Fourier me refiero a lo siguiente:

Dejemos que $X$ y $Y$ sean dos objetos de alguna categoría con productos, y consideremos la correspondencia $X \leftarrow X \times Y \to Y$ . Si tenemos algún objeto (pensemos en gavilla, función, espacio, etc.) $\mathcal{P}$ en $X \times Y$ y otro, digamos $\mathcal{F}$ en $X$ asumiendo la existencia de operaciones de pushpull y tensores adecuados, podemos obtener otro objeto sobre $Y$ tirando $\mathcal{F}$ al producto, tensando con $\mathcal{P}$ , y luego empujando hacia adelante para $Y$ .

El ejemplo estándar es la transformada de Fourier de funciones sobre algún grupo abeliano localmente compacto $G$ (por ejemplo $\mathbb{R}$ ). En este caso, $Y$ es el dual de Pontryagin de $G$ , $\mathcal{P}$ es la función exponencial sobre el producto, y el empuje y el arrastre vienen dados por la integración y la precomposición, respectivamente.

También tenemos los funtores de Fourier-Mukai para las láminas coherentes en geometría algebraica, que proporcionan la equivalencia de las láminas coherentes en variedades abelianas duales. De hecho, casi todos los funtores interesantes entre las láminas coherentes en variedades suficientemente agradables son ejemplos de transformaciones de Fourier-Mukai. Una variación de este ejemplo también proporciona la correspondencia geométrica de Langlands

$$D(Bun_T(C)) \simeq QCoh(LocSys_1(C))$$

para un toroide $T$ y una curva $C$ . De hecho, la correspondencia geométrica de Langlands para los grupos reductores generales parece surgir también de dicha transformación.

Por el $SYZ$ conjetura, dos colectores espejo de Calabi-Yau $X$ y $Y$ son fibraciones duales del toro lagrangiano. Como tal, la equivalencia conjeturada

$$D(Coh(X)) \simeq Fuk(Y)$$

se obtiene moralmente aplicando una transformada de Fourier-Mukai que convierte las láminas coherentes en $X$ en Lagrangianos en $Y$ .

Para hacer las cosas más misteriosas, muchos de estos ejemplos son el resultado de la existencia de un emparejamiento perfecto. Por ejemplo, el haz de líneas de Poincaré que proporciona la equivalencia para gavillas coherentes en variedades abelianas duales $A$ y $A^*$ surge del maridaje perfecto

$$A \times A^* \to B\mathbb{G}_m.$$

Del mismo modo, la correspondencia geométrica de Langlands para tori, así como la GLC para el sistema de Hitchin, surgen en cierto sentido de la autodualidad de la pila de Picard de la curva subyacente. Estos ejemplos parecen mostrar que las formas cuadráticas no degeneradas parecen ser fundamentales en algún sentido muy profundo (por ejemplo, tal vez incluso la dualidad de Poincaré podría considerarse una transformación de Fourier).

No tengo una pregunta precisa, pero me gustaría saber por qué debemos esperar que las transformadas de Fourier sean tan fundamentales. Estas transformadas también se encuentran en la física, así como en muchas otras situaciones del "mundo real" de las que estoy aún menos cualificado para hablar que de mis ejemplos anteriores. Sin embargo, tengo la sensación de que algo profundo está sucediendo aquí y me gustaría alguna explicación, aunque sea filosófica, de por qué este patrón parece aparecer en todas partes.

Answer 1

Desde el punto de vista de la física, las transformadas de Fourier son omnipresentes porque son expansiones en funciones propias del operador derivado, y el operador derivado es fundamental en muchos aspectos. Por poner dos ejemplos: El operador derivativo es el generador de traslaciones (en el espacio o en el tiempo), y para aprender sobre el mundo natural, es crucial que las traslaciones sean operaciones de simetría -¿cómo aprenderíamos sobre el mundo natural si no pudiéramos reproducir experimentos en diferentes momentos en diferentes lugares? En segundo lugar, las teorías de campo se basan en la localidad, es decir, los grados de libertad sólo interactúan con sus vecinos inmediatos, lo que conduce naturalmente a una dinámica descrita por derivadas.

Answer 2

Para añadir una perspectiva de teoría de la representación: si $G$ es un grupo de Lie, y $f$ es una función (o más exactamente una distribución) sobre $G$ entonces (bajo ciertas condiciones leves en $f$ y $G$ ), la función $f$ está determinada de forma única por los coeficientes de su matriz unitaria, es decir, los coeficientes de la matriz $\rho(f)$ donde $\rho:G\to GL_n$ va sobre todas las clases de isomorfismo de unitario e irreducible representaciones. Esta perspectiva debe entenderse como un cambio de base que revela las "propiedades equivariantes subyacentes" de una función $f$ es decir, las propiedades importantes desde el punto de vista de la teoría de la representación.

Ahora las representaciones irreducibles unitarias del grupo aditivo $\mathbb{R}$ son representaciones unidimensionales $\rho_\alpha: t\mapsto e^{i\alpha t}$ indexado por $\alpha\in \mathbb{R}$ por lo que la descomposición matricial de los coeficientes de una función es precisamente su transformada de Fourier. Esto indica que siempre que se esté interesado en problemas de equidistancia aditiva (acción por $\mathbb{R}$ ), debería esperar ver las transformadas de Fourier.

Tu ejemplo de Fourier-Mukai es un ejemplo del mismo fenómeno "un nivel de categoría superior". A saber, las láminas coherentes sobre un grupo algebraico $G$ forman una categoría monoidal bajo convolución. Un análogo parcial de la "función $f$ en $G$ actúa en línea agrupa la pila $BG$ " (es decir, representaciones invertibles) es "gavilla coherente $F$ en $G$ actúa sobre los gerbos en $BG$ ". En el caso de las variedades abelianas, Gerbes en $BG$ son (más o menos) la variedad dual y los "coeficientes matriciales" de esta acción resultan ser precisamente un cambio de base (en este caso, una equivalencia de categorías, ahora dada por Fourier-Mukai). Para los grupos no abelianos, la situación es más complicada, ya que no basta con considerar los gerbos, y es complicado decir exactamente qué es una categoría de módulos irreducibles sobre una categoría monoidal... pero para cualquier extensión razonable de esta imagen que se dé siempre habrá un functor de "coeficientes matriciales".

Answer 3

Desde el punto de vista de la ingeniería, sin y cos son funciones propias de los sistemas LTI (lineales e invariantes en el tiempo), lo que hace que la transformada de Fourier sea inmanentemente importante para la teoría de sistemas - y por tanto para la teoría de control, el procesamiento de señales y muchos otros campos que hacen uso de los sistemas LTI

Answer 4

Otra perspectiva sobre las conexiones entre las transformadas de "Fourier" y las aplicaciones físicas puede extraerse de la discusión en el MO-Q Explicación física de la transformada de Fourier-Mukai sobre la interferencia constructiva y destructiva y las relaciones generales entre las funciones de Green (o de Green), las convoluciones/transformaciones integrales asociadas y las respuestas al impulso de un sistema físico, tal como se presenta en el Entrada de Wikipedia . Un ejemplo de gran alcance de la interferencia destructiva y constructiva en una superposición de elementos de una base propia es Principio de Huygen . (Para una rápida introducción a las conexiones entre la entrada y la salida de un sistema mediante convoluciones y transformaciones integrales, véase la sección 3.5, pp. 53-65, de Mathemagics : Homenaje de Cartier a L. Euler y R. Feynman sobre la trilogía mágica de Heaviside).

Más indirectamente, en el lado de la geometría diferencial/algebraica, la transformada de Laplace, pariente cercana de la transformada clásica de Fourier con su propio teorema de convolución, está íntimamente relacionada con la inversión compositiva y, por tanto, con la transformada de Legendre-Fenchel, que figuran en La dualidad Koszul de las operadas cuadráticas, las relaciones de difeomorfismo entre campos cuánticos, la combinatoria de los associaedros, los teoremas de expansión cumulante, la teoría de la probabilidad libre y la geometría algebraica .

Answer 5

Creo que esto será inesperado, pero desde el punto de vista de teoría de los estereotipos La transformada de Fourier es omnipresente porque es un ejemplo de construcción categórica general -- sobre . Se trata de una construcción formal que describe en el lenguaje de la teoría de las categorías diferentes operaciones matemáticas de "tomar el exterior más cercano de una clase dada" (en contraste con la construcción dual de tomar el "enriquecimiento interior", que se llama refinamiento ). El ejemplos de sobres son

• la terminación de un espacio localmente convexo,

• el Compactación de la piedra-Cech de un espacio topológico,

• el Sobre Arens-Michael de un álgebra topológica, etc.

La transformada de Fourier también es un ejemplo porque en diferentes "grandes geometrías" resulta ser un caso especial de las envolventes clave utilizadas en la construcción de estas geometrías. En particular, en la "rama de este árbol" que se puede llamar "topología" obtenemos el siguiente resultado:

para cada grupo abeliano localmente compacto $G$ la transformada de Fourier ${\mathcal F}:{\mathcal C}^\star(G)\to {\mathcal C}(\widehat{G})$ es una envoltura continua del álgebra de grupos estereotipados ${\mathcal C}^\star(G)$ de medidas con soporte compacto en $G$ .

Los mismos resultados son válidos en otras grandes geometrías: en geometría diferencial (con la envolvente suave como construcción clave) y en geometría compleja (con la envolvente de Arens-Michael, ver detalles aquí y aquí ).