Narrativas en curvas modulares

Question

He intentado varias veces para leer sobre las curvas modulares, y he perdido la esperanza en todo momento. Parece que hay varios competidores narrativas, que todos se enfused y maquinaciones para alterar mí. Hay formas modulares, automorphic formas, Hecke teoría, L-funciones, representaciones de Galois, espacio hiperbólico, formas primitivas, Fuchsian grupos, el programa de Langlands y así sucesivamente.

Es algo así como una pregunta introductoria, pero yo estaría muy agradecido si alguno de vosotros podría poner las cosas en algún tipo de orden, y aparte de las narrativas. (Lo que generaliza lo que, lo que es paralelo a lo que, y lo que implica lo)

Answer 1

Voy a ser apartarse de mi experiencia aquí, por lo que probablemente contiene algunos errores. Solo estoy agregando mi punto de vista como alguien que tiene (en un tiempo al menos) el pensamiento acerca de algunas de estas cosas. Esperemos que esto ayude a fomentar alguna discusión.

1) Modular curvas son localmente simétrica espacios, lo que significa que son de la forma $\Gamma\backslash G/K$ donde $G$ es (por simplicidad) un semi-simple Mentira de grupo (p. ej. $SL_2({\bf R}$), $K$ una máxima compacto subgrupo (por ejemplo,$SO(2)$), y $\Gamma$ discretos en el subgrupo de índice finito en $G({\bf Z})$ (por ejemplo,$SL_2({\bf Z})$) (una "aritmética" subgrupo). Margulis trabajo en la rigidez de las rejillas en la Mentira de los grupos implica que, a menos que $G$ es $SO(1,n)$ o $SU(1,n)$, $\Gamma$ es una congruencia subgrupo de $G({\bf Z})$ (congruencia de los subgrupos es una media aritmética subgrupo que contiene el núcleo de la reducción de mapa de $G({\bf Z})\rightarrow G({\bf Z}/N{\bf Z})$). Tenga en cuenta que $SO(1,2)\simeq SL_2({\bf R})$, $SO(1,3)\simeq SL_2({\bf C})$.

En mi experiencia, la gente suele hablar sólo de hiperbólico (o simétrico) espacios y fuchsian grupos en que pasa porque hay más información disponible en forma explícita el uso de $G$ e $\Gamma$ (por Lo que pueden empezar a discutir por ejemplo, un cociente de hiperbólico n-espacio por un subgrupo discreto, pero que demostrar cosas usando ese $H^n$ es realmente $SO(n,1)/SO(n)$ e $\Gamma$ es realmente un subgrupo de $SO_{n,1}({\bf Z})$).

Al $\Gamma$ es una congruencia subgrupo de $G({\bf Z})$, usted puede pensar de $\Gamma \backslash G/K$ as $G({\bf Q})\backslash G({\bf A})/K\cdot K_f$ donde $K_f$ es un compacto de abrir subgrupo de $G({\bf A_{\rm f}})$ Esto tiende a ser más sencillo trabajar con el, ya que $G({\bf Q})$ tiene una estructura más sencilla que la de $\Gamma$ (algebraica de los grupos sobre los campos en lugar de los anillos). Tenga en cuenta que las cosas extrañas pueden suceder con noncongruence subgrupos (por ejemplo, no podría haber ningún cúspide de las formas).

Automorphic formas están determinadas funciones en $\Gamma\backslash G$. Las formas modulares se definen clásicamente en $G/K$, pero se puede hacer un poco de transformar y ascensor para acceder a ellos como ciertos "holomorphic" automorphic formas. Con automorphic formas, el poder de la teoría de la representación entra, y usted tiene automorphic $L$- (funciones y operadores de Hecke).

2) Modular las curvas de Shimura variedades, significado (tipo de) que $G/K$ tiene una estructura compleja, y así (después de algún trabajo) $\Gamma \backslash G/K$ es una variedad algebraica. Más trabajo muestra que la Shimura en la variedad está definida sobre un campo de número (el modelo canónico de la variedad, más que el reflejo de campo).

Así que se puede adjuntar a un Hasse-Weil zeta función, la cual, naturalmente, factores como la alternancia de producto de $L$-funciones de las cohomology grupos de la Shimura variedad. Estos se supone que automorphic. En el modular caso, la Eichler-Shimura relación hace que esta conexión bastante simple para probar, pero no se sabe en general, y es muy duro. (No estoy seguro de cuál es el estado de la técnica. Estoy bastante seguro de Hilbert modular variedades ($GL_2$ a través de una totalmente real de campo), Picard modular superficies ($SU(2,1)$), y el siguiente-simple Siegel variedad modular ($GSp_4$, el pensamiento de $GL_2$ as $GSp_2$) son conocidas. Creo más general unitaria grupos son conocidos, pero no puedo precisar declaraciones exactas).

El cohomology grupos realizar una acción por $G({\bf A}_f)$, lo que da lugar a una acción a través de los operadores de Hecke (el pensamiento de los operadores de Hecke como miembros del grupo de álgebra para $G({\bf A}_f)$). Hay maneras más simples para ver esto. El etale cohomology grupos también llevar a una acción por la absoluta grupo de Galois de la reflex de campo, lo que da lugar a $\ell$-ádico representaciones de Galois.

Modular/automorphic formas son las secciones de ("automorphic") vector de paquetes en $\Gamma \backslash G/K$. La estructura algebraica en la Shimura variedad tiene consecuencias para automorphic formatos, por ejemplo, en términos de la racionalidad de los coeficientes de Fourier y en especial los valores de $L$-funciones.

Answer 2

Recomiendo leer

• Puntos modulares, curvas modulares, superficies modulares y formas modulares

por Don Zagier.

Answer 3

"Moduli" son parámetros que algebraicas variedades dependen de la continua invariantes si te gusta, como contraposición a la invariantes discretos. O la misma para estructuras complejas en un determinado topológica del colector, si te gusta pensar de esa manera. Un modular de la curva es la más simple caso real del fenómeno, en el caso de una sola variable. Este fue el primero en notar cuando las variedades eran curvas elípticas. Hubo un elaborado trabajo de la teoría a lo largo del siglo xix: la lengua habitual fue de congruencias (en dos variables), que después de Riemann probablemente fueron leídos por los geómetras, normalmente, como la definición de las superficies de Riemann. Hay un montón de organización para todas las posibles modular curvas que viene desde la clásica teoría de la función elíptica.

Y en el siglo xx, una serie de sucesivos puntos de vista se encuentra la explicación de todo esto la teoría de nuevo. Un lugar razonable para empezar es probablemente Hecke la teoría; en parte, eso es una cuestión de gusto, algunas personas podrían preferir el trabajo de Hurwitz que podría erróneamente se considera asumida por ahora. Usted no necesita la generalidad de todos los Fuchsian grupos o todos automorphic formas, o todas las representaciones de Galois, o todos L-funciones. Modular de la curva de la teoría se puede indicar cómo todos estos encajan, como ejemplos clásicos.