Deje $p(n)$ denotar el número de particiones de un entero positivo $n$. A mí me parece que tenemos para todos los $n>25$
$$
p(n)^2>p(n-1)p(n+1).
$$
En otras palabras, la secuencia de $(p(n))_{n\in \mathbb{N}}$ es de registro-cóncavo, o satisface $PF_2$, con
$$
\det \begin{pmatrix} p(n) & p(n+1) \cr p(n-1) & p(n) \end{pmatrix}>0
$$
para $n>25$. ¿Es esto cierto ? No he podido encontrar una referencia en la literatura hasta el momento. Por otro lado, la función de partición es realmente estudiado mucho.
Por lo que parece probable que a esto se le conoce.
Del mismo modo, la propiedad $PF_3$, con el correspondiente $3\times 3$ determinante, parece llevar a cabo para todos los $n>221$, demasiado, y también
$PF_4$ para todos los $n>657$.
La cuestión también es motivado por el estudio de los números de Betti de nilpotent álgebras de Lie, en particular filiforme nilpotent álgebras de Lie.
Respuestas
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Los dos primeros términos de la de Hardy-Ramanujan fórmula de dar $$p(n) = \frac{1}{4 \sqrt{3} n} \exp(\pi \sqrt{2n/3}) + O \left(\exp(\pi \sqrt{n/6} ) \right)$$ así $$\log p(n) = \pi \sqrt{2/3} \sqrt{n} - \log n - \log (4 \sqrt{3}) + O(\exp(-\pi \sqrt{n/6} ) ).$$ Así $$\log p(n+2) - 2 \log p(n+1) + \log p(n) = $$ $$ \pi \sqrt{2/3} \left( \sqrt{n+2} - 2\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \right) - \left( \log(n+2) - 2 \log(n+1) + \log n \right) + O(\exp(-\pi \sqrt{n/6} ) )$$ $$= \left[ \left( \frac{- \pi \sqrt{2/3}}{4} \right) n^{-3/2} + O(n^{-5/2}) \right] + O(n^{-2}) + O(\exp(-\pi \sqrt{n/6} ) ).$$ Por lo que esta cantidad es negativa para $n$ lo suficientemente grande.
El más grande de los determinantes que parezca más difícil; probablemente hay una manera más inteligente de hacerlo.
Con la ayuda de Mathematica, me $q(n) = a \exp(c \sqrt{n})/n$ y se calcula que $$\det \begin{pmatrix} q(n) & q(n+1) & q(n+2) \\ q(n-1) & q(n) & q(n+1) \\ q(n-2) & q(n-1) & q(n) \end{pmatrix} = q(n)^3 \left( \frac{c^3}{32 n^{9/2}} + O(n^{-10/2}) \right).$$ El error en la aproximación de $p(n)$ por $q(n)$ (para $a = 1/(4 \sqrt{3})$ e $c = \pi \sqrt{2/3}$) será exponencialmente menor que $n^{-9/2}$, por lo que el $3 \times 3$ determinante es positivo para $n$ grandes.
El $4 \times 4$ determinante se desvanece orden, al menos,$n^{-12/2}$, y me dio la espera de la computación para finalizar cuando pedí más términos.
La declaración hace referencia Igor Rivin http://www.math.clemson.edu/~janoski/ResearchStatement.pdf utiliza la frase
Computacionalmente mirando a p(n) vemos que para n ≥ 26 de la función de partición es log-cóncava [2].
Yo había visto esta referencia antes, probablemente, sobre el mismo tiempo de esta declaración de la investigación fue lanzado por primera vez, y yo soy escéptico por dos razones.
El fraseo "Computacionalmente..." parece indicar algún tipo de cálculo. Esto no puede implicar un ordenador, ya que se tendría que llevar a cabo para todo n mayor de 26, y yo no soy consciente de que cualquier simplificación que permite considerar sólo un número finito de casos. Hubiera sido útil para, al menos, a exponer en el tipo de cálculos involucrados.
Me registré para el prometido de referencia, y de hecho me lo encontré en el CV del autor, http://www.math.clemson.edu/~janoski/VitaTex.pdf, pero se refiere a la cita a continuación. Hice una rápida búsqueda en google y he podido encontrar ninguna referencia o cualquier cosa que apunta a una publicación.
Brian Bowers, Neil Calkin, Kerry Gannon, Janine E. Janoski, Katie Joes, Anna Kirkpatrick, El Registro de la Concavidad de la Función de Partición, (en preparación)
Asymptotics no proporcionar la respuesta aquí, ya que n es suficientemente grande no se mantiene a menos que usted puede proporcionar un hormigón n y a prueba de todo menos de lo que es, y no creo que el de Hardy-Ramanujan asintótica de expansión de los rendimientos garantizados estimaciones de error.
Puede ser posible el uso de DH Lehmer las estimaciones para obtener una prueba. En dos artículos (1937 y 1939), que investigó los coeficientes de ambos el de Hardy-Ramanujan asintótica de expansión y la de Hardy-Ramanujan-Rademacher expansión. Él siempre garantizado error de límites en el resto de los términos en las expansiones asintóticas de modo que, por ejemplo, su Teorema 13 dice que para n>600, sólo $2/3 \sqrt n$ términos de Hardy-Ramanujan asintótica de la serie son necesarios para estimar p(n) al entero más cercano.
En la actualidad, no creo que el asunto se resuelva definitivamente, a pesar de la abrumadora evidencia computacional.
ACTUALIZACIÓN 11-1-13:
Igor Pak y acabo de subir un preprint a la ArXiv: http://arxiv.org/abs/1310.7982 . En ella podemos demostrar el registro de la concavidad de los números de partición de todos los $n>25$, y la Sección 6.3 direcciones Janoski la tesis.
ACTUALIZACIÓN 11-23-15:
Igor y yo recientemente, se ha informado de la obra de Jean-Louis Nicolas, que también contiene una prueba de log-concavidad de los números de partición:
Sur les entiers N vierta lesquels il y a beaucoup de grupos de abéliens d'ordre N, Annales de l'institut de Fourier, en el tomo 28, nş 4 (1978), pág. 1-16.
Este papel de un J. Janoski en Clemson parece indicar que, a pesar del hecho de que las particiones se han estudiado la mitad-para-la muerte, el registro de la concavidad es todavía un poco abierta (Y el asintótica forma de hacerlo es la única manera conocida). Tenga en cuenta que una relativa unimodality teorema de Szekeres (para las particiones en $k$ partes) es sólo demostró el uso de asymptotics, y no un bijective correspondencia, por lo que el "libro de las pruebas" de los hechos aún se nos escapan.
