Teorema de inclusión de Freyd-Mitchell

Question

Freyd-Mitchell incrustación teorema establece que: si a es un pequeño abelian categoría, entonces existe un anillo R y completa, fiel y exacta functor F: A → R-Mod.

He estado tratando de encontrar una prueba de que no depende de tantos tecnicismos de los que he encontrado. Tengo las hojas a través de:

Freyd del Abelian Categorías, dice que el texto, a excepción de los ejercicios, intenta ser una geodésica que conduce al teorema. Si usted toma los ejercicios, probablemente, el texto es de 120 páginas...

Mitchell Teoría de Categorías es muy difícil de leer, y también para demostrar el teorema usted tiene toneladas de definiciones y proposiciones y lemas para probar. Por ejemplo, el estudio de AB-5 categorías (C3 en Mitchell notation) es bastante tedioso.

Weibel Una Introducción al Álgebra Homológica me redirecciona a Swan, La Teoría de Poleas, un libro que no está disponible en mi biblioteca de la universidad. Me he bañado a través del Cisne Algebraica de K-Teoría: el teorema está demostrado, pero también es largo, duro y doloroso leer, y supone una gran cantidad de conocimiento que no tiene (yo nunca había visto un débil effaceable functor, o un Serre subcategoría; y ciertamente no es bien conocido para mí que la categoría de aditivos functors de un pequeño abelian categoría a la categoría de abelian grupos está bien alimentado, derecha completa, y ha inyectiva sobres!)

Tal vez hay más moderno pruebas que requieren menos de maquinaria pesada y tecnicismos?

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}\newcommand{\amod}{\mathscr{A}\text{-}{\bf Mod}}\newcommand{\scrA}{\mathscr{A}}\newcommand{\scrE}{\mathscr{E}}\newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}}\DeclareMathOperator{\Lex}{\mathbf{Lex}}\DeclareMathOperator{\coker}{Coker}$Sólo sé una prueba de la incrustación de teorema—de las exposiciones difieren fuertemente en la terminología, pero todos los abordajes son equivalentes, por lo que puedo contar. Creo que la prueba en Cisne, el libro de K-teoría hace que la relación entre el Freyd-Mitchell enfoque y Gabriel enfoque bastante claro. Permítanme decir que no hay ninguna manera barata de conseguir el Freyd-Mitchell incrustación teorema, ya que hay una considerable cantidad de trabajo que usted necesita para invertir con el fin de obtener todos los detalles de la recta. Por otro lado, si usted logra sentirse cómodo con los detalles, habrá aprendido bastante una buena cantidad de herramientas estándar de álgebra homológica, así que creo que bien vale la pena el esfuerzo.

Pensar en la categoría de functors $\scrA \to \Ab$ as $\scrA$-módulos, es por eso que la notación $\amod$ es bastante común. El Yoneda incrustación $A \mapsto \Hom(A,{-})$ incluso los rendimientos totalmente fieles functor contravariante $y\colon \scrA\to\amod$.

La categoría de $\amod$ hereda un montón de agradable propiedades de la categoría $\Ab$ de abelian grupos:

• Es abelian.
• Es completa y cocomplete ((co-)límites puede ser calculada pointwise en los objetos)
• Los functors $\Hom(A,{-})$ son inyectiva y $\prod_{A \in\scrA} \Hom{(A,{-})}$ es un inyectiva cogenerator.
• Puesto que hay una inyectiva cogenerator, la categoría de $\amod$ está bien alimentado.
• etc.

Sin embargo, la Yoneda la inclusión es no exacta: Si $0 \to A' \to A \to A'' \to 0$ es una breve secuencia exacta, sólo tenemos una secuencia exacta

$$0 \to \Hom(A',{-}) \to \Hom(A,{-}) \to \Hom(A'',{-})$$

en $\amod$.

Resulta que el functor $Q = \coker{(\Hom(A,{-}) \to \Hom(A'',{-}))}$ es "débil effaceable", por lo que queremos que sea cero con el fin de obtener un functor exacto. ¿Cómo podemos lograr esto? Así, sólo la fuerza a ser cero: dicen que una de morfismos $f\colon F \to G$ en $\amod$ es un isomorfismo si tanto su núcleo y su cokernel son débilmente effaceable. Si esto funciona, a continuación, débilmente effaceable functor $E$ es isomorfo a cero debido a que $E \to 0$ ha $E$ como núcleo. Ahora el pleno de la subcategoría $\scrE$ de débilmente effaceable functors es un Serre subcategoría, de modo que se pueda formar el Gabriel cociente $\amod/\scrE$. Por su construcción, isomorphisms en el Gabriel cociente tiene, precisamente, la descripción de arriba.

Por otro lado, la categoría de $\Lex(\scrA,\Ab)$ de izquierda exacta functors $\scrA \to \Ab$ es abelian. Esto es muy evidente cuando se inicia a partir de las definiciones. Sin embargo, $\Lex(\scrA,\Ab)$ se sienta cómodamente en el interior de la abelian categoría $\amod$. La inclusión tiene una exacta izquierda adjoint (!) (= "sheafification"), así que de nuevo ${\bf Lex}({\scr A}, \Ab)$ hereda muchas propiedades útiles de $\amod$. Por otra parte, el núcleo de la izquierda adjuntos pueden ser identificados con el débil effaceable functors, y por eso $\Lex{(\scrA, \Ab)} = \amod/\scrE$.

Todo este trabajo muestra que $A \mapsto \Hom{(A,{-})}$ es totalmente fiel y exacta incorporación de la $\scrA$ a ${\Lex}{(\scrA, \Ab)}$, por lo que permanece para mostrar que el último puede ser incrustado dentro de una categoría de módulos. Esto está bien descrito en Weibel o del Cisne de libros, así que no voy a abundar en ese punto y el contenido mismo por decir que usted sólo tiene que mirar en el endomorfismo anillo de un inyectiva cogenerator.

Como referencias, creo que no se puede hacer mucho mejor que Freyd del libro. No ser intimidado por el Cisne de la exposición en su K-el libro de la teoría. Si usted está realmente interesado en la comprensión de esta prueba, creo que vale la pena leer los dos exposiciones (primera Freyd, luego de Cisne). También hay una prueba en el volumen 2 de Borceux Manual de la categórica álgebra con más "manos en" el enfoque.