Hoy todos sabemos que en el nivel conocido más bajo, los quarks, que constituyen los nucleones, están unidos por la fuerza fuerte, que es mucho más fuerte que cualquier otra fuerza a esta distancia, por eso los quarks existen en confinamiento en nuestro universo (excepto tal vez dentro de agujeros negros). Ahora los nucleones están unidos por la fuerza fuerte residual (fuerza nuclear), que sigue siendo mucho más fuerte que cualquier otra fuerza a esta escala.
Los electrones y los núcleos están unidos por la fuerza electromagnética (los campos eléctricos estáticos de las cargas), que sigue siendo mucho más fuerte que el campo magnético estático de los imanes en tu caso.
Ahora, los átomos dentro del imán están unidos por algo que llamamos enlaces covalentes, que contrario a lo que se cree popularmente, son un fenómeno de la mecánica cuántica. Estos enlaces covalentes se deben a un cierto intercambio de orbitales electrónicos, y su efecto es que el enlace covalente es mucho más fuerte que los campos magnéticos estáticos de los imanes en tu caso.
Estás preguntando qué mantiene unidos los dominios de los imanes, y la respuesta es esta unión covalente.
Como ya indicaste, las unidades físicas deben ser consideradas. Cuando se trabaja en unidades del SI, la relación entre la fuerza del campo eléctrico sobre la fuerza del campo magnético en la radiación electromagnética es igual a 299 792 458 m/s, la velocidad de la luz c.
¿Por qué los campos magnéticos son mucho más débiles que los campos eléctricos?
Los enlaces covalentes se deben inequívocamente a la interacción electromagnética. La interacción electrostática es solo una aproximación en la que se descartan las dinámicas del campo electromagnético (cuántico), y a veces esa aproximación es lo suficientemente buena.
¿Los enlaces covalentes son EM (electrostáticos/electronegativos) o no?
Así que la respuesta a tu pregunta es que la unión covalente (de las partículas) es mucho más fuerte que la fuerza del campo magnético estático de tus imanes de barra, y eso mantiene unidos los dominios de los imanes.
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No es necesario etiquetar esta pregunta con [electromagnetismo] o [campos-magnéticos]. ¿Cómo se mantiene todo unido? Los imanes permanentes no explotan porque son objetos sólidos. Tu pregunta equivale a preguntar por qué los objetos "sólidos" son sólidos.