Elipse asociada naturalmente a un polígono

Question

Mis colegas y yo hemos dado con una forma de asociar una elipse, o lo que es lo mismo una matriz simétrica definida positiva, a un polígono que es diferente a otras formas más conocidas. Queremos saber si alguien ha visto esto antes. Antes de describirlo, quiero hacer notar que hay otras formas conocidas de asociar una elipse a un polígono, incluyendo la matriz de segundos momentos de la distribución uniforme soportada en el interior del polígono y las llamadas elipses de John, que son la elipse de mayor volumen inscrita en el polígono y la de menor volumen circunscribiendo el polígono.

Aquí está la elipse que encontramos: Dado un polígono $P$ que contiene el origen en su interior, sea $\ell_1, \dots, \ell_n$ denotan las líneas que contienen los lados de $P$ . Para cada $i$ , dejemos que $n_i$ denota el vector unitario ortogonal a $\ell_i$ , $h_i$ sea la distancia del origen a la línea $\ell_i$ y $s_i$ sea la longitud del lado que se encuentra en $\ell_i$ . Para cada $v \in R^2$ , defina

$ q(v) = \sum_{i=1}^n (v\cdot n_i)^2\frac{s_i}{h_i}. $

Dejemos que $E_P = \{ q(v) \le 1\}.$ La elipse $E_P$ no se comporta especialmente bien en las traducciones de $P$ . Sin embargo, se comporta muy bien bajo transformaciones lineales. En particular, si $A$ es una transformación lineal invertible con determinante $1$ entonces $E_{AP} = AE_P$ . Es invariante de la escala en el sentido de que $E_{tP} = E_P$ para cualquier $t > 0$ .

La elipse $E_P$ puede definirse sin utilizar el producto interior y es un invariante lineal del polígono $P$ . Su definición puede extenderse a cualquier cuerpo $P$ que contiene el origen con una frontera suficientemente regular. Es un ejemplo de valoración matricial sobre el conjunto de todos los cuerpos convexos que contienen el origen en su interior. Su volumen se maximiza si y sólo si el cuerpo $P$ es a su vez un elipsoide centrado en el origen.

¿Alguien reconoce esta asociación de una elipse a un polígono? Agradecería cualquier información o referencia.

EDIT: Los comentarios de Vladimir a continuación, especialmente la primera frase, indican claramente que he omitido algo crucial. La definición del elipsoide depende de la elección de la forma de volumen en el espacio vectorial ambiente (y de la forma de volumen dual en el espacio vectorial dual). Si se cambia la forma de volumen, se reescalará el elipsoide por un factor. Sin embargo, si se fija la forma de volumen, el elipsoide es invariable bajo el cambio de escala del cuerpo convexo.

Esta observación, sin embargo, hace que la existencia de un elipsoide invariable en escala asociado al polígono sea mucho menos sorprendente.

Answer 1

Tal vez habría sido más convincente si hubiera dado la definición de $q_K$ de forma unimodular equivariante desde el principio. Eso no es en absoluto difícil de hacer, y también es fácil ver cómo crear muchos más tales (y cómo crear muchos más en todas las dimensiones).

Por ejemplo, supongamos que $K\subset V$ tiene vértices $v_0,v_1,\ldots,v_n=v_0$ (ordenado cíclicamente en sentido contrario a las agujas del reloj, por ejemplo). Sea $\alpha_i\in V^\ast$ sea el único elemento que satisface $\alpha_i(v_i)=\alpha_i(v_{i+1})=1$ . Entonces $$ q_K = \sum_{i=0}^{n-1} \Omega(v_i,v_{i+1})\ {\alpha_i}^2 $$ (donde $\Omega$ es la forma del área). Esto es claramente equivariante unimodular con respecto a $K$ y, puesto que, para $K' = tK$ (con $t>0$ ), se tiene $v'_i = tv_i$ y $\alpha_i' = (1/t)\alpha_i$ se deduce que $q_{tK} = q_K$ . Por supuesto, cualquier cosa de este tipo habría funcionado. Por ejemplo, podría haber tomado $$ \tilde q_K = Area_\Omega(K)\left( \sum_{i=0}^{n-1} {\alpha_i}^2\right), $$ y esto también habría tenido la misma propiedad de equidistancia.

En la dimensión $n$ Creo que la fórmula correcta sería definir, para cada cara $F$ de $K$ el elemento $\alpha_F\in V^\ast$ para ser la función lineal que es igual a $1$ en $F$ , dejemos que $\Omega(F)$ denotan el volumen del cono con vértice $0\in V$ cuya base es $F$ y, a continuación, establecer $$ q_K = \sum_{F\in\mathcal{F}(K)} \Omega(F)\ {\alpha_F}^2. $$ Si quieres que sea invariable bajo la escala, debes tomar $$ q_K = \sum_{F\in\mathcal{F}(K)} \Omega(F)^{2/n}\ {\alpha_F}^2. $$ Pero, tal vez, lo mejor sería tomar $$ q_K = Vol_\Omega(K)^{(2-n)/n}\ \left(\sum_{F\in\mathcal{F}(K)} \Omega(F)\ {\alpha_F}^2\right), $$ ya que también es invariante bajo la subdivisión de las caras de $K$ .

Answer 2

Estoy confundido: ¿no es esta la construcción en:

MR1781476 (2001j:52011) Lutwak, Erwin(1-PINY); Yang, Deane(1-PINY); Zhang, Gaoyong(1-PINY) Un nuevo elipsoide asociado a cuerpos convexos. Duke Math. J. 104 (2000), no. 3, 375-390. 52A40 (52A39)

Si es así, por qué preguntar ahora :)

Answer 3

(Sólo una pregunta, no una respuesta). @Deane: ¿Tiene la elipse una relación geométrica clara con el polígono? Creo que siempre es un círculo para un polígono regular centrado. Para el triángulo equilátero de abajo, calculo $$3 \sqrt{3} (x^2 + y^2 ) = 1$$ y para el triángulo rectángulo, centrado como se ilustra, $$6 x^2 + 4xy + 6y^2 = 1 \;.$$
   

Answer 4

Querido decano, queridos todos,

Espero que esta sea la última (4ª) edición de mi respuesta. Me paso unas cuantas horas en cálculos que podrían ser descartados si pensara un poco antes de hacerlos. Creo que ahora entiendo lo que sucede y lo que la mayoría de ustedes probablemente sabía antes.

En primer lugar, no existe ninguna construcción canónica $K\mapsto E_K$ de una elipse por un cuerpo convectivo (entiendo canónicamente como ``depende sólo de la estructura lineal y de $K$ '') de manera que satisfaga $E_{tK} =E_K$ . La razón es que esto implicaría la existencia de una estructura euclidiana canónica en un espacio bidimensional dotado de una estructura compleja lineal, lo cual es erróneo porque el grupo de las transformaciones lineales que preservan una estructura compleja es mayor que el grupo de las transformaciones lineales que preservan una estructura euclidiana.

En efecto, consideremos una estructura compleja lineal bidimensional en $\mathbb{R}^2$ es decir, fijar una matriz $J$ tal que $J^2= -1$ . El grupo de transformaciones lineales que preserva la estructura compleja contiene evidentemente las escalas $(x,y)\mapsto \textrm{const} \cdot (x,y)$ y, por tanto, no puede conservar ninguna estructura euclidiana.

Supongamos que existe una construcción canónica de un elipsoide $E_K$ por un cuerpo convexo $K$ tal que se comporta como sigue con respecto a las transformaciones lineales: para cada transformación lineal $A$ con $det(A)= 1$ tenemos $A E_K = E_{AK}$ para cada escala $S:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ , $(x,y)\stackrel{S}\mapsto \textrm{const} \cdot (x,y)$ tenemos $E_{SK}= E_K$ . Entonces, podemos construir un producto escalar canónico sobre nuestro $\mathbb{R}^2$ . En efecto, habiendo $J$ tenemos una noción canónica de círculo centrado en $\vec 0$ . Más concretamente, en todo espacio lineal real 2dim tenemos la noción de elipse. Un círculo alrededor de $\vec 0$ es una elipse que es $J-$ invariante. Como ves, para definir una elipse hemos utilizado la estructura lineal de $\mathbb{R}^2$ y la compleja estructura $J$ por lo que cualquier transformación lineal que conserve $J$ en particular cada escala $(x,y)\stackrel{S}\mapsto \textrm{const} \cdot (x,y)$ toma un círculo centrado en $\vec 0$ a un círculo centrado en $\vec 0$ . redondo

Ahora supongamos que su construcción $K\mapsto E_K$ existe. Como $K$ , toma la bola redonda centrada en el origen. La libertad de elegir un cuerpo convexo de este tipo es su escala $K\mapsto \textrm{const}\cdot K$ Si la construcción no depende de la escala, obtenemos que la libertad de elegir un cuerpo convexo no afecta a la elipse $E_K$ (que también debe ser un círculo debido a la simetría) obtenemos un producto interno canónico sobre $(\mathbb{R}^2, J)$ . Pero no existe tal producto, por las razones que he explicado antes: el grupo de las transformaciones complejas es mayor que el grupo de las transformaciones ortogonales.

Por lo tanto, no hay esperanza de construir una elipse de escala equivarinat y de transformaciones lineales invariante por un cuerpo convexo en $\mathbb{R}^2$ Por lo tanto, algo debe estar mal con las propiedades anunciadas de la construcción de la pregunta. Debo confesar que primero pensé que el problema es con la invariabilidad de la construcción con respecto a las transformaciones lineales, y molesté a Deane y a todos ustedes con intentos de contraejemplos.

No, el problema no es el comportamiento de la construcción con respecto a las transformaciones lineales. El problema es que la construcción NO ES CANÓNICA. En efecto, depende de la elección de la estructura euclidiana en el espacio: si se multiplica la estructura euclidiana por una constante, ¡el elipsoide resultante será el inicial dividido por el cuadrado de esta constante!

En realidad, dado que la construcción es efectivamente invariante respecto a las transformaciones lineales con determinante $1$ se puede pensar que la información que necesitamos de la estructura euclidiana es únicamente su forma de volumen. Esto me lo señaló Deane en uno de sus comentarios, con una indicación de que normalmente debería ser suficiente para entender todo sin hacer los cálculos. También queda inexplícito en la versión editada de la pregunta de Deane.

Por cierto, la versión ``original'' de la construcción en el documento MR1781476 (2001j:52011) Lutwak, Erwin(1-PINY); Yang, Deane(1-PINY); Zhang, Gaoyong(1-PINY) Un nuevo elipsoide asociado a cuerpos convexos. Duke Math. J. 104 (2000), no. 3, 375-390. 52A40 (52A39) tiene un término adicional en su interior, que hace que la construcción sea independiente de la forma del volumen, pero la elipse resultante no tiene la propiedad deseada $E_{tK}= E_K$ más.

Ahora bien, si no necesita la propiedad $E_{tK}= E_K$ existen toneladas de construcciones canónicas de una elipse por un cuerpo convexo. Incluso se pueden hacer estas construcciones de forma invariante a todo el grupo afín, moviendo primero el cuerpo de forma que su baricentro esté situado en el origen del sistema de coordenadas desde el que se hace la construcción.

[Editar registro --1º intento: se ha añadido la explicación de por qué no podía funcionar y se ha corregido el contraejemplo] [Editar registro --2º intento: el contraejemplo anterior no funcionó, ahora está el nuevo que sí funciona] [Editar registro --3º intento: un contraejemplo más sin éxito] [Editar registro: --4º intento: explicación de que la construcción no es invariante]