¿Se ha alcanzado alguna vez Weil por las sumas de Kloosterman?

Question

Weil obligado para Kloosterman sumas de dinero a los estados para que $(a,b)\not=(0,0)$, $$ |K(a,b;q)|:=\left|\sum_{x\in\mathbb{F}_q^*}\chi(ax+bx^{-1})\right|\leq 2\sqrt{q}, $$ donde $\chi$ es no trivial de carácter aditivo en $\mathbb{F}_q$ (el campo con $q$ elementos).

Mi pregunta es, es conocido por ser falso que $\sqrt{q}$ puede ser sustituido por $\sqrt{q-1}$?

Aquí es lo que se sabe (yo):

• Weil obligado se deduce del hecho de que $K(a,b;q)=\alpha+\beta$ donde $\alpha\beta =q$ e $|\alpha|=|\beta|=\sqrt q$.
• Por lo tanto no hay un único ángulo de $\theta(a,b;q)$ en $[0,\pi]$ tal que $$ \frac{K(a,b;q)}{2\sqrt q}=\cos\theta(a,b;q) $$
• Mi pregunta entonces pregunta, es no $a,b,q$ tal que $$ |\cos\theta(a,b;q)|>\sqrt{1-\frac 1t}?\qquad (*) $$
• "Vertical" equidistribución de Kloosterman ángulos implica que como $q\to\infty$ $$ \frac 1{q-1}\sum_{\lambda\en F_q^*}f(\theta(1,\lambda;q))\a\frac 2\pi\int_0^\pi f(\theta)\sin^2\theta\,d\theta $$
• Por lo tanto para cualquier fija $\delta>0$, como $q\to\infty$ la proporción de los ángulos $\theta(a,b;q)\in [0,\delta]$ enfoques $\frac 1\pi (\delta-\frac 12\sin(2\delta))\approx \frac{2\delta^3}{3\pi}$.
• $(*)$ es aproximadamente equivalente a $|\theta(a,b;q)|<q^{-1/2}$, así que por equidistribución el número esperado de tales ángulos es $\approx 2(q-1)\frac{2}{3\pi} q^{-3/2}\approx \frac{4}{3\pi} q^{-1/2}$, que es (mucho) de menos de 1.

Así, uno podría preguntar ¿qué tan buena es la concentración de todo el número esperado de ángulos? Y ¿qué tan buena es la aproximación de la expectativa para empezar?

Probablemente la mayoría de enfoque razonable es sólo la búsqueda por ordenador. Para $q=p$ el primer y el $p\leq 61$ no hay contraejemplos, pero esto no es muy convincente.

Answer 1

Este es un suplemento a Noam Elkies respuesta. Afirmo que el Weil obligado nunca es alcanzado por $q=p$ prime. Suponga que el límite es alcanzado, a continuación,$K(a,b,p)=\pm 2\sqrt{p}$, lo $\sqrt{p}$ se encuentra en el cyclotomic campo $\mathbb{Q}(\zeta_p)$. A continuación, $\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ es un subcampo de la $\mathbb{Q}(\zeta_p)$, lo $2$ es unramified en $\mathbb{Q}(\sqrt{p})$, lo $p\equiv 1\pmod{4}$. Luego, utilizando sumas de Gauss y la notación $e_p(t):=e^{2\pi it/p}$, podemos escribir la ecuación de $K(a,b,p)=\pm 2\sqrt{p}$ como $$\sum_{x=1}^{p-1}e_p(ax+b\overline{x}) = \pm 2\sum_{t=1}^{p-1}\left(\frac{t}{p}\right)e_p(t).$$ Para un determinado $t$, el número de soluciones de $ax+b\overline{x}=t$ es igual a $1+\left(\frac{t^2-4ab}{p}\right)$, por lo tanto tenemos $$\sum_{t=0}^{p-1}\left(\frac{t^2-4ab}{p}\right)e_p(t) = \pm 2\sum_{t=1}^{p-1}\left(\frac{t}{p}\right)e_p(t).$$ Eliminando el término $t=0$ desde el lado izquierdo, $$\sum_{t=1}^{p-1}\left(\left(\frac{t^2-4ab}{p}\right)-\left(\frac{-4ab}{p}\right)\right)e_p(t) = \pm 2\sum_{t=1}^{p-1}\left(\frac{t}{p}\right)e_p(t).$$ Los números complejos $e_p(t)$ se producen en ambos lados son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$, por lo tanto llegamos a la conclusión, con una constante de signo $\pm$, $$\left(\frac{t^2-4ab}{p}\right)-\left(\frac{-4ab}{p}\right)=\pm 2\left(\frac{t}{p}\right),\qquad 1\leq t\leq p-1.$$ Esta es una contradicción, porque el lado derecho cambia por $4$ en varios valores de $t$, mientras que el lado izquierdo siempre cambios en la mayoría de las $2$.

Answer 2

Va a ir un poco más allá de $61$, me parece que el primer contraejemplo a $|K(a,b;q)| < 2 \sqrt{q-1}$ con el primer $q$ ha $(q,ab) = (139,38)$, cuando se $K(a,b;q) = -23.51308393\ldots = -2 \sqrt{138.216\ldots}\,$, y no hay más primer contraejemplos a a $10^3$.

[añadido más tarde] la Ampliación de la búsqueda de la noche llegó un poco más allá de $10^4$ y encontraron cinco casos más, en $q=1747$, $3121$, $3593$, $3853$, y $10973$. El más pequeño $\delta$ para $|K(a,b;q)| = 2\sqrt{q-\delta}$ es de alrededor de $0.2892$ para $(q, ab) = (1747, 461)$. El otro $\delta$'s se acerca $0.653$, $0.830$, $0.833$, y $0.2999$, el último de $(q,ab) = (10973, 8093)$.

El gp de código me encontré es aproximadamente un orden de magnitud más rápido que la de ayer, gracias en su mayoría a almacenar una tabla de cosenos en lugar de computación en cada una de las $\chi(ax+bx^{-1})$ como surge. Pero todavía tiene acerca de $q^2$ tiempo por $q$, y por lo tanto acerca de la $x^3$ a tratar todos los $q \leq x$. Hay un factor de alrededor de $q$ (y por tanto de alrededor de $x$) para ser salvos por la configuración de la computación como una transformada rápida de Fourier sobre cualquiera de las ${\bf F}_q$ o ${\bf F}_q^*$, pero se los dejo a alguien a implementar (o se lo han hecho ya?).

Answer 3

He aquí una sencilla prueba de que $|K(a,b;q)|$ puede nunca exactamente igual $2\sqrt q$ para cualquier potencia principal $q=p^f$ y cualquier $a,b \in {\bf F}_q^*$.

Recordemos que $K := K(a,b;q) \in {\bf R}$, debido a que en la definición de la suma $\sum_{x \in {\bf F}_q^*} \chi(ax+bx^{-1})$ las contribuciones de $x$ e $-x$ a la parte imaginaria de $K$ son iguales y opuestas. Por lo tanto, si $|K| = 2 \sqrt q$ luego $K = \pm 2 \sqrt q$. En particular, $K$ estaría contenida en el primer ideal $\pi = (1-\zeta_p)$ sobre $p$ en el cyclotomic campo ${\bf Q}(\zeta_p)$. [De hecho, este tendría que ser cierto incluso si no supiéramos que $K$ es real, porque de $(p) = \pi^{p-1}$.]

Pero $K$ es una suma de $q-1$ raíces de la unidad de la orden de $p$, cada congruente a $1 \bmod \pi$. Por lo tanto $K \equiv q-1 \equiv -1 \bmod \pi$. Por lo tanto $K \notin \pi$. $\ \diamondsuit$

Answer 4

Parte de la pregunta sobre el cómo de buena es la concentración de Kloosterman ángulos es de alrededor de la espera medir. Resulta que la discrepancia en el problema de la `distribución vertical" de Kloosterman ángulos se ha trabajado por Niederreiter: La distribución de los valores de las sumas de Kloosterman en el Arco. der Matemáticas. (1991) páginas 270--277. La prueba se basa en Erdos-Turan tipo de análisis de Fourier, junto con Katz teorema sobre la equidistribución (esencialmente lo que yo tenía en mente en mi comentario a la pregunta anterior, pero, por supuesto, llevó a cabo el 25 de años atrás!). De Niederreiter del obligado en la discrepancia uno inmediatamente se pone que hay sumas de Kloosterman $K(1,a;p)$ para cada uno de los grandes prime $p$, que es mayor que $2\sqrt{p} - C p^{\frac 13}$ para algunas constantes $C$. Uno puede mejorar esto un poco y reemplace $Cp^{\frac 13}$ por $Cp^{\frac 14}$ trabajando a través de la argumentación más cuidado en esta situación especial. (La desaparición de la medida en $0$ hace que el general discrepancia de ruedas un poco más débil en esta situación).

Answer 5

No es una respuesta, pero:

Bombieri y Katz consideran una pregunta estrechamente relacionada aquí:

Bombieri, Enrico (1-IASP-SM); Katz, Nicholas M. (1-PRIN) Una nota sobre los límites inferiores para las huellas de Frobenius. Enseign. Matemáticas. (2) 56 (2010), no. 3-4, 203–227. 11G20 (11J87 14G15)

Su resultado no es lo suficientemente fuerte como para responder la pregunta del OP, pero el documento es ciertamente esclarecedor.