Clasificación de las variedades unidimensionales (no contables)

Question

Es fácil ver que todas las conexiones $1$ -(es decir, lo que a menudo se denomina simplemente un colector) es homeomorfo a $\mathbb{R}$ o a $S^1$ . Ahora dejemos de lado la condición de segundo contador.

¿Cómo se demuestra que todos los conectados $1$ -de la Tierra, que es homeomorfa a $\mathbb{R}, S^1$ ¿la línea larga o el rayo largo? ¿Y por qué la recta larga y la semirrecta larga no son homeomorfas?

Una buena encuesta sobre estos últimos espacios puede encontrarse en el entrada de wikipedia . Básicamente, un rayo largo se compone de $\omega_1$ -muchos intervalos pegados, y la línea larga consiste en dos rayos largos en ambas direcciones.

Answer 1

He aquí una respuesta a la primera pregunta del recuadro (la segunda ya fue respondida por Robin Chapman). (Con mucho retraso, por supuesto, pero acabo de ver esta pregunta).

Supongamos que $Y$ es un manifold topológico 1 conectado (no vacío) sin límite; sea $y$ sea un punto. A menos que $Y$ es un círculo, el complemento $Y - \{y\}$ tiene dos componentes conectadas abiertas $U$ y $V$ y $Y$ puede reconstruirse pegando $U \cup \{y\}$ y $V \cup \{y\}$ que son 1manifoldos con un punto límite cada uno.

Me pareció técnicamente más fácil analizar las posibilidades de tales manifolds 1 conectados con (al menos) un punto límite. Recordemos que un 1manifold con límite es un espacio topológico en el que cada punto tiene una vecindad homeomorfa a un subconjunto abierto del intervalo $[0, 1]$ . Junto con el encolado anterior, basta con establecer el siguiente resultado.

Teorema: Supongamos que $X$ es un manifiesto conectado con al menos un punto límite. Entonces $X$ es homeomorfo a uno de los siguientes tipos de espacios:

• Un intervalo cerrado $[0, 1]$ .

• Un intervalo semiabierto (homeomorfo a $\mathbb{R}_{\geq 0}$ ).

• Un largo rayo semiabierto.

(Debo decir de entrada que una prueba totalmente rigurosa, con todos los puntos sobre las íes, sería algo larga. Así que me contentaré con un resumen de la prueba. Véase también la referencia [1], que debería ayudar a llenar la mayoría, si no todas, las lagunas).

Prueba: Observe que $X$ está conectada por el camino, ya que está conectada y localmente conectada por el camino.

Dejemos que $0$ denotan un punto límite, y el orden $X$ de la siguiente manera: diga $x \lt y$ si $x$ y $0$ pertenecen al mismo componente de ruta de $X - \{y\}$ . No es difícil demostrar que $X$ se ordena linealmente bajo $\lt$ , con elemento inferior $0$ . Cada intervalo $[0, x]$ es una variedad compacta conexa con dos puntos finales (compacta porque hay un camino desde $0$ a $x$ ) y, por tanto, es homeomorfo al intervalo estándar.

Supongamos un subconjunto cerrado $D \subset X$ está bien ordenado bajo el orden que hereda de $X$ . El tipo de orden de tales $D$ debe ser $\omega_1$ (el primer ordinal incontable) o menos. En caso contrario, habría un segmento inicial $S$ de $D$ del tipo de pedido $\omega_1 + 1$ . En ese caso, si $s$ es el elemento superior de $S$ el intervalo $[0, s)$ que es homeomorfo a $\mathbb{R}_{\geq 0}$ , contendría $\omega_1$ como un suborden - pero esto es absurdo ya que $\mathbb{R}_{\geq 0}$ tiene un conjunto cofinal contable.

Ahora podemos clasificar las posibilidades de $X$ según el ordinal más pequeño $\xi$ que no son un subconjunto cerrado y bien ordenado de $X$ . Esto dicta qué subconjuntos cerrados bien ordenados $D$ que son cofinales en $X$ parecer.

• Si $\xi = \omega_1 + 1$ entonces cualquier cofinal cerrado y bien ordenado $D$ debe ser del tipo $\omega_1$ y $X$ es una unión topológica (un colímite dirigido) de conjuntos abiertos $[0, d)$ donde $d$ se extiende sobre $D$ . Esta unión es homeomorfa a una semirrecta larga.

• Si $\xi = \omega_1$ entonces cualquier cofinal cerrado y bien ordenado $D$ es contable. Esto obliga a $X$ para ser homeomorfo a $\mathbb{R}_{\geq 0}$ .

(Un argumento de inducción fácil muestra que para cualquier ordinal contable $\alpha$ el conjunto ordenado lexicográficamente $\alpha \times [0, 1)$ con la topología de orden es homeomorfo a $\mathbb{R}_{\geq 0}$ ).

• Si $\xi = \omega_0$ entonces $X$ es homeomorfo a $[0, 1]$ .

(Fin de la prueba)

[1] David Gale, The Classification of 1-Manifolds: A Take-Home Exam, Amer. Math. Monthly, Vol. 94 No. 2 (febrero de 1987), 170-175.