¿Hay una curva algebraica sobre Q que no sea modular?

Question

Cada curva elíptica $E/\mathbf Q$ es modular, en el sentido de que no existe un no constante de morfismos $X_0(N) \to E$ para algunos $N$.

Es tentador para ampliar esta definición en un ingenuo manera arbitraria curva proyectiva sobre $\mathbf Q$; si $Y$ es una curva, podríamos decir que el $Y$ es modular si existe un no constante de morfismos $X_0(N) \to Y$ para algunos $N$. Una condición necesaria para $Y$ para ser modular, es que debe tener al menos un punto racional, ya que $X_0(N)$ siempre tiene un punto racional. Para una curva elíptica, esta condición es satisfecha por definición.

Ciertamente, hay una gran cantidad de curvas que son modulares en este sentido. Pero hay un ejemplo de una curva (con un punto racional) que es no modular?

Answer 1

Uno espera que la mayoría de las curvas algebraicas sobre el número de campos con el género $> 1$ no debe ser modular en este sentido.

Por ejemplo, tomar un carácter suficientemente general como género 2 curva de $C$ sobre $\mathbf{Q}$. A continuación, su $\ell$-ádico $H^1$ (el cual es el $\ell$-ádico Tate módulo de su Jacobiano) será una de las 4 dimensiones de Galois representación cuya imagen tierras dentro de $\mathrm{GSp}_4(\mathbf{Z}_\ell)$. Si $C$ es lo suficientemente genérico, a continuación, la imagen de este Galois representación debe ser la totalidad de $\mathrm{GSp}_4(\mathbf{Z}_\ell)$ para todos, pero un número finito de $\ell$; en particular, va a ser absolutamente irreductible. (No sé si esto se sabe, pero, sin duda, uno espera que sea el caso). Por otro lado, si $C$ admite un no-constante mapa de $X_0(N)$, entonces el su $H^1$ tendría que ser un cociente de la $H^1$ de % de$X_0(N)$, y este puede ser calculado en términos de las formas modulares; en particular, todos absolutamente irreductible subquotients tiene dimensión 2. Así que la mayoría de género 2 curvas de $C$ no será modular en su sentido. y si usted consigue uno que es, usted debe considerarlo como un lugar improbable coincidencia.

(Un más de alta potencia de la interpretación de esto es que $H^1(C)$ debe ser el Galois representación conectado a un grado 2 de Siegel de forma modular. En algunos casos muy especiales este Siegel forma modular será endoscópica, es decir, se puede describir en términos de los ascensores de elípticas modulares formas, pero la mayoría de Siegel mod formas no será endoscópica y por lo tanto no tiene nada que ver con $X_0(N)$ cualquier $N$.)

Si usted está dispuesto a relajar su definición de "modular", aunque, usted puede conseguir muchas más posibilidades. Hay una muy sorprendente resultado de Belyi diciendo que toda curva algebraica definida sobre un campo de número pueden ser obtenidos como el cociente de la mitad superior del plano-por algunos de los subgrupos de $PSL(2, \mathbf{Z})$, aunque el grupo correspondiente no se suelen tener una congruencia de los subgrupos.

Answer 2

Se cree que hay sólo un número finito de curvas de más de $\mathbf{Q}$ de género $g \geq 2$ que están cubiertos por una modular de la curva, ver Conjetura 1.1 en el siguiente artículo :

Panadero, M. H. ; González-Jiménez, E. ; González, J. ; Poonen, B. . La finitud resultados para modular las curvas de género al menos 2. Amer. J. Math. 127 (2005), no. 6, 1325--1387.

De hecho, los autores demuestran un fuerte resultado en esta conjetura, es decir, que existen sólo finitely esas curvas que son nuevos (en un sentido).

Answer 3

Un complemento a David, muy buena respuesta. Una condición necesaria para que una curva de $C$ sobre $\mathbb Q$ a modular su sentido es el siguiente:

(RM): cada simple abelian variedad $A$ que aparecen en un cociente de la Jacobiana de $C$ es tal que $End(A) \otimes \mathbb Q$ contiene un totalmente verdadero campo de grado dim $A$ sobre $\mathbb Q$.

Tenga en cuenta que la condición de $A$ sólo depende de la isogeny clase de $A$, por lo que por Poincaré del teorema (RM) no cambia si reemplazamos la palabra "cociente" por "sub-abelian variedad{. Tenga en cuenta también que, parafraseando a David argumento genérico abelian variedad, e incluso un genérico Jacobiana debe tener $End(A)=\mathbb Z$, por lo que no debe satisfacer la condición relevante si el género es mayor que uno.