¿Existe algún patrón en la fracción continua de $\sqrt[3]{2}$ ?

Question

¿Existe algún patrón en la fracción continua de $\sqrt[3]{2}$ ? Wolfram Alpha vuelve para raíz cúbica de 2 :

$\sqrt[3]{2}=$ [1; 3, 1, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 1, 14, 1, 10, 2, 1, 4, 12, 2, 3, 2, 1, 3, 4, 1, 1, 2, 14, 3, 12, 1, 15, 3, 1, 4, 534, 1, 1, 5, 1, 1, 121, 1, 2, 2, 4, 10, 3, 2, 2, 41, 1, 1, ...]

Así que la respuesta es probablemente no. Ciertamente no habrá ningún patrón repetitivo como:

$$ 1+\sqrt{2} = 2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \dots }}}$$

Pero yo esperaba tal vez un patrón como el que podríamos encontrar para el número $e = 2.718\dots$ :

$$ e = [2; 1, \color{blue}{2}, 1, 1, \color{blue}{4}, 1, 1, \color{blue}{6}, 1, 1, \color{blue}{8}, 1, 1, \color{blue}{10}, 1, 1, \color{blue}{12}, 1, 1, \color{blue}{14}, 1, 1, \color{blue}{16}, 1, 1, 1, ...]$$

Así que de hecho $e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots$ tiene un patrón de fracción continua más bonito que $\sqrt[3]{2}$ .

En realidad se puede derivar la fracción continua de $e$ ( Henry Cohn ), pero aún no lo he revisado.

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Propuesta: Fracción Continua Arbórea

Si intentamos derivar una fracción continua para raíces cúbicas veamos cómo nos metemos en problemas:

$$ \sqrt[3]{2} \approx 1 $$

Es una suposición pésima, pero veamos hasta qué punto estamos equivocados:

$$ \sqrt[3]{2} - 1 = \frac{1}{1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \tag{$ \square $}$$

así que vamos a retroceder en realidad necesitábamos dos piezas de información:

$$ \sqrt[3]{2} \approx 1 \hspace{0.25in} \textbf{and} \hspace{0.25in} \sqrt[3]{4} \approx 1 $$

La raíz cúbica de 4 todavía no es del todo $2 = \sqrt[3]{8}$ . Ahora vamos a intentarlo:

$$ \sqrt[3]{4} - 1 = \frac{3}{1 + \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{16}} = \frac{3}{1 + \sqrt[3]{4} + 2\sqrt[3]{2}} \tag{$ \Delta $} $$

Y luego volver a introducir todo esto en la ecuación de la que partimos:

$$ \sqrt[3]{2} - 1 = \frac{1}{1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} = \cfrac{1}{1 + \left(1 + \frac{1}{1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \right) + \left( 1 + \frac{3}{1 + \sqrt[3]{4} + 2\sqrt[3]{2}}\right)}$$

Hagamos que se vea un poco más limpio pero igual:

$$ \sqrt[3]{2} = 1 + \frac{1}{1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} = 1 + \cfrac{1}{3 + \frac{1}{1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} + \frac{3}{1 + 2\sqrt[3]{2}+ \sqrt[3]{4}}}$$

Utilización de la $\square$ y $\Delta$ podemos obtener un patrón regular infinito de esta manera.

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Aclaración

Se me pide repetidamente que aclare la pregunta de qué entiendo por "patrón" la verdad es que No lo sé. . Con este fin hago dos observaciones:

• los son números transcedentales con patrones claros si su fracción continua tal como $e$ . Encontramos que cada tercer dígito es un número par empezando por $2$ y aumentando en $+2$ . Todos los demás dígitos son $1$ .

• Ya he propuesto una fracción continua generalizada "arborescente" que puede tener propiedades recursivas similares a las que tienen los patrones repetidos para números como $\sqrt{n}$

• Este documento de Yann Bugeaud afirma que los dígitos de las fracciones continuas no pueden tener ningún patrón:

Sea $\alpha = [0; a_1, a_2,...]$ b de grado al menos tres. Uno de nuestros criterios implica que la secuencia de cocientes parciales $(a_n)_{n1}$ de $\alpha$ no puede ser generado por un autómata finito, y que la función de complejidad de $(a_n)_{n1}$ no puede aumentar demasiado despacio.

Personalmente me cuesta entender un número que no satisface ningún patrón. Tiene que haber algún patrón. Mi pregunta es entonces ¿qué podríamos probar en su lugar?

Por último, si el caso cúbico es tan intratable, puede que cambie mi atención al caso cuadrático, donde se conocen más resultados...

Answer 1

Que yo sepa, queda abierta una pregunta mucho más general:

PROBLEMAS DE DIOFANTINA ABIERTA p. 15

Esencialmente no se sabe nada sobre la expansión en fracción continua de un número algebraico real de grado 3; no se conoce la respuesta a ninguna de las dos preguntas siguientes.

Pregunta 2.9 . ¿Existe un número algebraico real de grado 3 con cocientes parciales acotados?

Pregunta 2.10 . ¿Existe un número algebraico real de grado 3 con cocientes parciales no limitados?

Según Wolfram Alpha podría haber una oportunidad para la expansión Hurwitz de $\sqrt{i}$ que comienza

 [1 + i; -2 + 2i, 2 + 2i, -2 + 2i, 2 + 2i, -2 + 2i, 2 + 2i, -2 + 2i, 2 + 2i, -2 + 2i, 2 + 2i, -2 + 2i, 2 + 2i, -2 + 2i, 2 + 2i, -2 + , ...]

Answer 2

(Tengo un comentario respecto a su Árbol-Como la Continuación de la Fracción de generalización, excepto que sólo tienen la reputación suficiente para escribir las respuestas.)

Dado algebraicas $x_0$, una instancia de su generalización se puede encontrar mediante la búsqueda de algunas de las funciones que tiene un punto fijo en $x_0$ y es el inverso de un polinomio.

Supongamos que un polinomio $p(x)$ tiene una raíz en $x_0$. Siguiendo tu ejemplo, si $x_0 = \sqrt[3]{2}-1$, entonces podemos escoger el mínimo polinomio $p(x) = x^3 + 3x^2 + 3x -1$. Set $p(x) = 0$ escribir $\frac{1}{x} = x^2 + 3x + 3$. Por lo tanto, $x_0$ es un punto fijo de $f(x)$:

$$ f(x) = \frac{1}{x^2+3x+3} $$

El Árbol-como la continuación de la fracción luego pueden ser leídos directamente de $f(x)$. Volviendo al caso general: si $p(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i$, luego $$ f(x) = \frac{-a_0}{\sum_{i=1}^{n}a_ix^{i-1}} $$

No hacemos ninguna restricción sobre si $|f'(x_0)|<1$.

Usted ha pensado de esta implícitamente ya, pero yo siento que esto es una manera más explícita de escribir lo que estás buscando.

Answer 3

Es el problema de Hermite: https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite%27s_problem

El algoritmo Jacobi-Perron intenta resolver este problema.

Mittal y Gupta han definido las fracciones continuas bifurcadas http://arxiv.org/abs/math/0002227 http://arxiv.org/abs/math/0008060

En concreto, dicen que la pareja $2^{1/3}$ y $2^{2/3}$ tiene la expansión: $1,\overline{1,2} $ y $ \overline{1,0}$

Lehmer habla de fracciones continuas ternarias - https://oeis.org/A000962/a000962.pdf

No tengo ni idea de cómo encaja todo.