Esta cuestión ha sido la de la cruz publicado en MathOverflow con algunas respuestas muy interesantes y discusión.
Actualmente estoy escribiendo un proyecto sobre la trenza de grupos y sus análogos en superficies cerradas. Es un ejercicio fácil para demostrar que si $B_n$ es Artin la clásica trenza de grupo en $n$ cadenas, a continuación, $B_n$ puede ser incrustado en $B_{n+1}$ (el homomorphism está dada por "la adición de una cadena de texto' en el final de la trenza en $B_n$ y esto puede ser demostrado ser un monomorphism). Una declaración similar que pueda ser demostrado por el puro trenza grupo $P_n$.
Deje $P\mathcal{S}_n$ ser la pura $n$-cadena de la trenza de grupo en la esfera de la $S^2$. Fox definición de este grupo es el grupo fundamental del espacio de configuración $F_{n}S^2=\prod_n S^2\setminus\{(x_1,\ldots,x_n)|\exists i\neq j, x_i=x_j\}$ con punto de base $\hat{x}=(\hat{x}_1,\ldots,\hat{x}_n)$. El pleno de la trenza de grupo $\mathcal{S}_n$ a continuación, es el grupo fundamental del espacio de configuración $B_nS^2=F_nS^2/\sim$ donde $x \sim y$ si las coordenadas de a $y$ son una permutación de las coordenadas de $x$. De ello se desprende que $\mathcal{S}_n/P\mathcal{S}_n=\Sigma_n$ donde $\Sigma_n$ es el grupo simétrico de a $n$ elementos.
Es bien sabido que para $n\geq 3$, $P\mathcal{S}_n$ (y por lo $\mathcal{S}_n$) ha torsión de los elementos (dada por la solución de Dirac de la cadena de problema, por ejemplo).
Con ese marco construido ahora, mi pregunta es, ¿puede $\mathcal{S}_n$ ser incrustado en a $\mathcal{S}_{n+1}$ $n\geq 3$ (y lo mismo para su puro contador de piezas)? El ingenuo 'agregar una cadena en la final de' mapa no va a funcionar porque, por ejemplo, la siguiente trivial de la trenza $\gamma$ aquí (ver imagen de abajo) se convierte en no-trivial cuando una cadena se agrega en la final, por lo que cualquier mapa no respetar la equivalencia de la clase de isotópica de las trenzas.
Yo creo que la respuesta es no, pero una prueba me escapa. No he sido capaz de encontrar alguna respuesta en la extensa literatura que me lleva a creer que la pregunta es difícil. Si la solución no existe, yo preferiría una prueba geométrica, en contraposición a una prueba algebraica, pero ninguna prueba sería bienvenida.
