Conjetura de Furstenberg sobre medidas de probabilidad continua invariantes 2-3 en el círculo

Question

Hillel Furstenberg conjeturó que la única $2$-$3$-invariante de la probabilidad de medir en el círculo sin átomos es la medida de Lebesgue. Más precisamente:

Pregunta: (Furstenberg) Deje $\mu$ ser una medida de probabilidad continua en el círculo que $$\int_{S^1} f(z) d\mu = \int_{S^1} f(z^2) d\mu = \int_{S^1} f(z^3) d\mu, \quad \forall f \in C(S^1).$$ Is $\mu$ la medida de Lebesgue?

El supuesto implica que los coeficientes de Fourier $\hat\mu(n)$ satisfacer $$\hat\mu(n) = \hat \mu(2^k3^ln), \quad \forall k,l \in \mathbb N, n \in \mathbb Z.$$ Furstenberg pregunta es conocido por tener una respuesta afirmativa si se hace suposiciones adicionales sobre la entropía de la medida.

La estrategia básica es por lo general para mostrar que un no-fuga (no trivial) coeficiente de Fourier implica la existencia de un átomo. La herramienta estándar para la construcción de los átomos en una medida en que el círculo es la Wiener del Lema que dice que tan pronto como exista $\delta>0$ de manera tal que el conjunto $\lbrace n \in \mathbb Z \mid |\hat\mu(n)| \geq \delta \rbrace$ tiene de densidad positiva en $\mathbb Z$, $\mu$ tiene un átomo. Más precisamente, la siguiente identidad se tiene: $$\sum_{x \in S^1} \mu(\lbrace x \rbrace)^2 = \lim_{n \to \infty} \frac1{2n+1} \sum_{k=-n}^n |\hat \mu(k)|^2.$$

Claramente, $$|\lbrace 2^k3^l \mid k,l \in \mathbb N \rbrace \cap [-n,n] | \sim (\log n)^2 $$ so that Wiener's Lemma can not be applied directly. My question is basically, whether this problem can be overcome for any other subsemigroup of $\mathbb N$.

Pregunta: ¿hay alguna subsemigroup $S \subset \mathbb N$ cero de densidad conocida, de tal forma que cada $S$-invariante de probabilidad continua medida en $S^1$ es la medida de Lebesgue? ¿Qué acerca de la subsemigroup generado por $2,3$ e $5$?

Answer 1

Manfred Einsiedler y Alexander Peces tienen un papel (arxiv.org/abs/0804.3586 demostrando que un multiplicativo subsemigroup de $\mathbb N$ que no es demasiado escasa satisface la medida de la clasificación. El semigroups consideran todavía son un poco grandes, y, en particular, no contenida en finitely generado semigroups.

Uno puede comprobar que el conjunto de los cuadrados perfectos $E$ satisface medida la clasificación de la siguiente manera: desde $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N \exp(2\pi i n^2 \alpha)\to 0$ por cada irracionales $\alpha,$ se puede concluir, como en Wiener del lema que un atomless medida $\mu$ a $S^1$ satisface $\lim_{N\to \infty} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N|\widehat{\mu}(n^2)|=0.$ Como en el post original, se deduce que un atomless $E$-invariante de la medida es la de Lebesgue.