(Co) homología de los espacios K de Eilenberg-MacLane (G, n)

Question

Deje $(G, n)$ ser un par tal que $n$ es un número natural, $G$ es un grupo finito que es abelian si $n \geq 1$. Es bien sabido que el $\pi_n(K(G,n)) = G$ e $\pi_i (K(G,n)) = 0$ si $i \neq n$.

También es conocido que estos espacios de $K(G,n)$ juegan un papel muy importante para cohomology. Para cualquier grupo abelian $G$, y cualquier CW-complejo de $X$, la $[X, K(G,n)]$ de homotopy clases de mapas de $X$ a $K(G,n)$ es natural bijection con el $n^{\mathrm{th}}$ singular cohomology grupo $H^n(X; G)$ con coeficientes en $G$.

Pero lo que se sabe acerca de la cohomology de la $K(G,n)$ a sí mismos? Es interesante a la luz de las anteriores. Aquí me refiero a la singular cohomology con coeficientes enteros.

Answer 1

Calcular la cohomología integral de$K(\pi,n)$ 's es factible pero un poco complicado. De hecho, la única referencia que conozco es la exposición 11 del seminario de H. Cartan, año 7 . Me interesaría si hay otras fuentes que cubren eso.

Answer 2

Usted puede encontrar algo de información útil en el Lausanne tesis de Alain Clément:

http://doc.rero.ch/record/482/files/Clement_these.pdf

En particular, se da cuenta de Cartan de resultados en el Capítulo 2, a continuación, se describe un programa de C++ para calcular la integral (co)homología de ciertos ($2$-local) Eilenberg-Mac Lane espacios en el Capítulo 3. En un apéndice se enumeran las integrales de (co)homología de grupos de $K(\mathbb{Z}_2,2)$, $K(\mathbb{Z}_2,3)$, $K(\mathbb{Z}_4,2)$ y $K(\mathbb{Z}_4,3)$ hasta grado $200$.

Answer 3

Ampliando un poco sobre Ryan comentario: es un simple hecho (que a menudo se atribuye a Serre) que el conjunto de cohomology operaciones de $H^k(-;G)\to H^r(-;H)$ (es decir, natural transformaciones) está en correspondencia 1-1 con $[K(G,k),K(H,r)]=H^r(K(G,k);H)$ (para cualquier abelian grupos $G,H$). Hay toneladas de estos, algunos fáciles, otros no tan fácil de entender, correspondiente a lo fácil el cálculo de $H^r(K(G,k);H)$ es. Un buen subconjunto son estables operaciones (compatible con una cierta suspensión de la $[K(G,k),K(H,r)]\to [K(G,k+1),K(H,r+1)]$ que vienen en las familias, el más común de la familia, siendo el álgebra de Steenrod, correspondiente a $G=H=Z/p$. Hay no estable operaciones también, por ejemplo, la plaza de Pontryagin $H^k(-;Z/2)\to H^{2k}(-;Z/4)$.

Answer 4

Si no le importa un poco el dolor de notación, puede ver los documentos originales donde Eilenberg y Mac Lane resolvieron muchos casos: Sobre la homología de los grupos$H(\pi,n)$ (I, II, III). Anales de Matemáticas ~ 1953.

Answer 5

En subálgebras Q, base de Milnor y cohomología de Eilenberg - espacios de Mac Lane, Tamanoi proporciona generadores polinomiales explícitos de$H^*(K(\mathbb Z/p^k,n);\mathbb Z/p)$ y$H^*(K(\mathbb Z,n);\mathbb Z/p)$ para todos los números primos$p$, utilizando la base de Milnor del álgebra de Steenrod dual .