Supongamos que quiero entender la mecánica clásica.
¿Por qué debería interesarme las variedades de Poisson arbitrarias y no solo las simplécticas?
¿Cuáles son los ejemplos de sistemas mejor descritos por múltiples de Poisson no simplécticos?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Por muchas razones y propósitos, es el corchete de Poisson, no la forma simpléctica, que desempeña un papel primordial.
- Las ecuaciones de movimiento y, más en general, la evolución de las características observables tienen una forma sencilla: $$ \frac{\partial f}{\partial t}=\{H,f\}.$$
- Conserva cantidades formar una subalgebra de Poisson: $$\{H,F\}=\{H,G\}=0 \implies \{H,\{F,G\}\}=0. $$
- Desde simetrías (Hamiltonianos grupo de acciones), son de Poisson por la naturaleza, el momento en que mapa se define en la configuración de Poisson: $$ M\ni P\mapsto (X \mapsto H_X(P)).$$ A diferencia de en el simpléctica caso, ambos pasos en la reducción de Hamilton, la restricción para el conjunto de nivel y factorización por la acción de los estabilizadores, son, naturalmente, lleva a cabo en la distribución de Poisson categoría, incluso para el singular de reducción.
- Quasiclassical aproximación en la mecánica cuántica (y a la inversa, la cuantificación de los clásicos sistemas mecánicos) se expresa a través de la distribución de Poisson soporte: $$[\hat{F},\hat{G}]=ih\widehat{\{F,G\}} +O(h^2). $$
Por otro lado, muchos de los sistemas naturales tienen un degenerado de Poisson de soporte y/o son de dimensiones infinitas.
- El espacio de fase de diversas cumbres es el espacio dual $\mathfrak{g}^*$ de una Mentira álgebra. Este es un ejemplo universal de un lineal de Poisson de la estructura. Simpléctica hojas son el coadjoint órbitas y la distribución de Poisson centro es administrado por el (clásico) "Casimir funciones".
- Clásica integrable, tales como sistemas de KdV admitir un bi-Hamiltoniana de la estructura (es decir, un par de compatible con los corchetes de Poisson). Esto no tiene análogos en simpléctica teoría.
- Algunas de estas estructuras son obtenidos por una reducción de un lineal de Poisson de la estructura de un adecuado infinito-dimensional Mentira álgebra (bucle de álgebra, álgebra de la matriz diferencial o pseudo-operadores diferenciales, etc).
Por último, un examen práctico: incluso si usted está interesado en el estudio de un simpléctica múltiples, y con frecuencia esto se logra mejor mediante su inclusión como un simpléctica de la hoja en un simple múltiple de Poisson, si tiene o no tiene significado físico. En particular, esto se aplica a la bandera de los colectores de Lie semisimple grupos, que son topológicamente objetos complicados, pero puede ser identificado con coadjoint órbitas, por lo tanto incrustado en un espacio vectorial lineal de Poisson de la estructura.
Schof
Puntos
859
El siguiente artículo de J. Butterfield sugiere 3 razones que motivan la de Poisson colectores (más de simpléctica colectores)(página 81)
Los parámetros y la estabilidad. A veces es más fácil analizar la estabilidad de la dinámica de Poisson colector de que en su simpléctica hojas.
Connaturalidad: La rigidez de los rotadores problema es más natural para analizar en SO(3), que en sus coadjoint órbita.
3.Reducción: Cuando el espacio de configuración es una Mentira grupo, es natural que el uso de T*G/G, así como la reducción del espacio de fase. Esta es una de Poisson colector de isomorfo al doble de la Mentira de álgebra y tener una Mentira de Poisson de la estructura.
Aasmund Ervik
Puntos
49
Bueno, en primer lugar, usted tendría que bucear bastante lejos en la mecánica clásica en el fin de requerir a cualquiera de estas dos herramientas. Una típica introducción al tema, basado por ejemplo en el libro de Goldstein, Poole y Safko, no la necesidad, por ejemplo en matemáticas avanzadas.
Dicho esto, no simpléctica de Poisson colectores se producen en la mecánica clásica, a la hora de estudiar el tiempo de evolución de los sistemas, más comúnmente en la transición de la mecánica clásica a la mecánica cuántica.
Una herramienta fundamental en la mecánica cuántica es el conmutador entre dos operadores, escrito por ejemplo, [x,p]. La clásica analogía de esto es el corchete de Poisson entre dos funciones de las coordenadas q_i, p_i y t, por ejemplo, { f(q,p,t) , g(q,p,t) }.
Ahora para la geometría: supongamos que tu coordenadas q_i se encuentran en un colector de Riemann, Q. Entonces Q junto con la forma w, que es el exterior derivados de la llamada canónica de una forma en el espacio de fase, generalmente de una forma simpléctica colector.
Ahora, un teorema (que no recuerdo el nombre) dice que si (P, w) es una simpléctica colector, entonces ( P , {-,-} ) formas de Poisson colector. Esto, de nuevo, resulta ser el requisito para la construcción de una Mentira álgebra homomorphism a partir del conjunto de secuencias delimitadas en Q para el conjunto de campos vectoriales sobre Q, y ahora estamos muy cerca de la mecánica cuántica.
Para un sistema específico: considerar el estándar 3D el espacio Euclidiano. Esto es extraño dimensión, por lo que no simpléctica. Construir el corchete de Poisson ejemplo: {x,y} = z {z,x} = y, {y,z} = x, donde x,y,z son las coordenadas de funciones, es decir, este es el producto cruzado en torpe notación. Ahora, sea F en C^inf(Q), considere la posibilidad de {F,-} actuando como una derivación en el conjunto de todos los polinomios. Entonces, por el teorema de Weierstrass, puede aproximarse a una definición de {F,G} para todo F, G en C^inf(Q).
Así que hemos construido un sistema muy sencillo (un punto en el espacio Euclidiano) y representado con un múltiple de Poisson. Nota, sin embargo, que tiene el conjunto de todas las esferas con centro en el origen como la foliación, y esta es una foliación que consta de simpléctica colectores, que resulta ser una característica general.
