Tercera diferencial en la secuencia espectral de Atiyah Hirzebruch

Question

¿Alguien sabe por qué $d_3: H^* (X, K^0(point))\rightarrow H^{*+3}(X,K^0(point))$ se amplía en realidad $Sq^3$ a $\mathbb{Z}$ coeficiente.

Answer 1

Esto se desprende de las siguientes consideraciones:

1. Este diferencial en la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch debe ser una operación de cohomología estable por razones de sinsentido general (el primer diferencial no evanescente siempre lo es, sea cual sea la teoría de cohomología generalizada).

2. Hay exactamente dos operaciones de cohomología estable $H^*(X) \to H^{*+3}(X)$ con coeficientes enteros. Uno de ellos es cero, y el otro es $\beta \circ Sq^2 \circ r$ , donde $r$ es la reducción mod 2 y $\beta$ es el Bockstein de la cohomología mod-2 a la cohomología entera. Esto proviene de un cálculo de la cohomología de los espacios de Eilenberg-Mac Lane, que describen todas las posibles operaciones de cohomología; para n suficientemente grande tenemos $H^{n+3}(K(\mathbb{Z},n)) = \mathbb{Z}/2$ .

3. El $d_3$ diferencial no es la operación de cohomología cero. Para ello, basta con encontrar un espacio para el que este diferencial sea no trivial (y puedes encontrarlo calculando realmente los grupos K complejos). Creo que se puede encontrar esto para $\mathbb{RP}^2 \times \mathbb{RP}^4$ Quizás alguien más trabajador pueda completar esta información.

Answer 2

Enseñé un curso de licenciatura de matemáticas a partir del libro de Henle "Geometrías modernas". Recuerdo que me gustó el libro, y creo que los problemas eran bastante buenos. Sin embargo, ha pasado mucho tiempo, así que no puedo ser más específico. En cualquier caso, cubre tanto la geometría proyectiva como la hiperbólica.

Answer 3

Vale, no puedo dejar pasar la oportunidad de intentar ser más trabajador que Tyler (esto es realmente un comentario a la respuesta de Tyler).

Trataré de explicar por qué hay un $d_3$ diferencial en el AHSS para $\mathbb{R}P^2 \times \mathbb{R}P^4$ .

La teoría K de $\mathbb{R}P^{2k}$ es $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2^k$ en dimensión 0 y es trivial en dimensión 1. Aplicando el Teorema de Kunneth se obtiene que $K^0 (\mathbb{R}P^2 \times \mathbb{R}P^4) = \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/2\oplus \mathbb{Z}/4\oplus \mathbb{Z}/2$ . Comparando con la cohomología de $\mathbb{R}P^2 \times \mathbb{R}P^4$ se ve que un factor de $\mathbb{Z}/2$ que aparece en la línea $y-x = 0$ en la página E_2 del AHSS tiene que ser matado por un diferencial.

Después de la tercera página, todos los diferenciales que entran (o salen) de la línea $y-x = 0$ en el AHSS comienzan (o terminan) en grupos triviales. Así que debe haber un diferencial no nulo en la tercera página. No me queda claro cuál es, pero no he pensado en la estructura multiplicativa.