Diffeomorfismos de orden finito no en la imagen de una acción circular

Question

¿Existe una variedad suave cerrada$M$ y un difeomorfismo$f\colon M \to M$ tal que:

1. $f$ es isotópico a la identidad,
2. $f$ es de orden finito,$f^n=ID$ y
3. $f$ no está contenido en la imagen de ninguna acción circular,$S^1\to \operatorname{Diff}(M)$?

Si la respuesta es sí, ¿cuál es un ejemplo?

Answer 1

Ejemplos de este tipo existen en la dimensión 5, están contenidas en el documento de Cameron Gordon "En la de mayores dimensiones Smith conjetura", Proc. Londres Matemáticas. Soc. (3) 29 (1974), 98-110. Es decir, Gordon demuestra en el Teorema 5 de este documento que (para cada $n\ge 5$) hay infinitamente muchos suave nudos $K=S^{n-2}\subset S^n$, de modo que $K$ es el punto fijo de un ${\mathbb Z}_p$-acción $\alpha_p$ por cada prime $p$. También prueba (Teorema 4) que, dado $K$, si cada acción $\alpha_p$ se extiende a un círculo de acción en $S^n$ entonces $\pi_1(S^n\setminus K)\cong {\mathbb Z}$. Él señala a continuación (un teorema por Levine) que, por $n\ge 5$ si $\pi_1(S^n\setminus K)\cong {\mathbb Z}$ entonces $K$ es suavemente unknotted en $S^n$. Desde que Gordon del teorema 5 rendimientos infinitamente muchos suaves isotopía clases de nudos $K$, que sigue a continuación, para cada uno de estos (no trivial) nudo, al menos para algunos de los mejores $p$, uno de Gordon acciones $\alpha_p$ no se extiende a un círculo liso acción.

Finalmente, cada diffeomorphism de $S^5$ es PL isotópico a la identidad (por el de Alexander truco). Ya que en las dimensiones de $<7$, PL=DIFF, llegamos a la conclusión de que el generador de $\alpha_p({\mathbb Z}_p)$ es suavemente isotópico a la identidad.

Por último, tenga en cuenta que en el topológica de la categoría, los ejemplos que existe ya para $M=S^3$: Bing ("No equivalentes a las Familias de los Periódicos Homeomorphisms de $E^3$", Ann. de Matemáticas. 80 (1964) 78-93.) construido finito de orden homeomorphisms cuyo punto fijo conjuntos son salvajes nudos, mientras que F. Raymond (Clasificación de las acciones del círculo en $3$-colectores. Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 131 (1968) 51-78.) resultó que todos los $S^1$-acción en $S^3$ es topológicamente conjugadas a una ortogonal de acción.