Variedades biholomóficas no algebraicamente isomorfas

Question

Recientemente, la hora de escribir una reseña para MathSciNet, la siguiente pregunta que se planteó fue:

Es cierto que dos liso complejo de variedades que son biholomorphic son algebraicamente isomorfos? Lo contrario es cierto sólo porque polinomios son holomorphic.

Yo estaba principalmente interesado en los afín caso, ya que fue el contexto de la revisión que yo estaba escribiendo.

Yo sabía acerca de exóticos afín espacios, por lo que dos liso complejo afín variedades que son reales analíticamente isomorfo no tienen que ser algebraicamente isomorfo. Pero real de la analítica de mapas entre los complejos colectores no necesita ser holomorphic en general (basta pensar en el complejo de conjugación en $\mathbb{C}$). Así que no es suficiente.

He publicado la pregunta en mi Facebook la página, y respondió:

1. Me acordé de que Serre de la GAGA Teorema implica que es cierto para las variedades proyectivas. Pero hay quasiprojective contraejemplos siempre en MO. Véase la respuesta de Georges Elencwajg dado aquí.

2. A continuación, se señaló que la respuesta en el link de arriba es de un colector, el cual es tanto afines y no afines. Entonces, ¿qué acerca de dos afín variedades?

3. Luego encontré una referencia para un ejemplo. Dos exóticas afín a los espacios que son biholomorphic aún no algebraicamente isomorfo. Vea aquí. Este es un muy buen resultado. Ya que es en la dimensión 3, es buena muestra de que, en el primer punto donde algo puede ir mal, lo hace. Un resultado similar para los exóticos afín esferas (al parecer debido a que aparezca en J de Alg. Geo.) es aquí.

Así que finalmente vienen a mis preguntas.

Pregunta 1: Es el ejemplo de la referencia me encontré con la primera ejemplo de dos variedades afines que son biholomorphic pero no algebraicamente isomorfos?

Pregunta 2: ¿hay algún general razón para creer que todosexóticas afín espacios deben ser biholomorphic?

Comentario: a mí me parece, dentro de un contexto para formular preguntas similares acerca de los objetos, no sólo los mapas entre los objetos. Aquí está algo de lo que he aprendido en ese sentido: todo liso complejo variedades son complejos colectores ya que están cubiertas por la suave afín a abrir conjuntos con el polinomio (de ahí holomorphic) diagramas de transición. Por el contrario, una cerrada analítica subespacio del espacio proyectivo es algebraico por Chow del Teorema. Pero hay compacto complejos colectores de que no son algebraicas (ver aquí), que también muestra que un cerrado analítica subespacio afín de espacio no necesita ser algebraicas.

Answer 1

Pregunta 1: El primer ejemplo publicado parece ser la siguiente (Corolario 4 en "Incrustaciones de Danielewski superficies", G. Freudenburg y L. Moser-Jauslin,, Matemáticas.Z. 2003 ) Para cualquier $a\in \mathbb{C}^*$, las superficies en $\mathbb{C}^3$ dada por $x^2z-y^2-a$ e $x^2z-(1+x)y^2-a$ son algebraicamente no isomorfos, pero holomorphically isomorfo.

Pregunta 2: La respuesta debe ser negativa, debido a la fuerte analítica cancelación teorema de Zaidenberg (ver http://arxiv.org/pdf/alg-geom/9506005v1.pdf en la página 5). Se dice que si $X,X'$ son contráctiles no biholomorphic superficies de tipo generales, a continuación, $X\times \mathbb{A}^1$ e $X'\times\mathbb{A}^1$ no biholomorphic sino que ambas son exóticas afín espacios.