¿Nuevas pruebas de los principales teoremas que conducen a nuevos conocimientos y resultados?

Question

Me pregunto, históricamente, cuándo una nueva demostración de un viejo teorema ha sido especialmente fructífera. Algunos ejemplos que tengo en mente (todos en teoría de números) son:

El primer ejemplo es clásico... que es la prueba de Euler del teorema de Euclides que afirma que existen infinitos primos. Aquí es cuando la factorización $\displaystyle \prod_p (1-p^{-s})^{-1} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$ lo que llevó, por supuesto, a lo que hoy se conoce como la Hipótesis de Riemann.

El segundo ejemplo es cuando Hardy y Littlewood dieron una prueba alternativa del problema de Waring, que ya había hecho Hilbert. Su prueba introdujo lo que ahora se conoce como el Método del Círculo de Hardy-Littlewood y dio una asintótica exacta para las bases de Waring, que es más fuerte que el resultado de Hilbert, que sólo afirmaba que todo número entero positivo suficientemente grande puede escribirse como la suma de un número acotado de $k$ de los poderes. Más tarde, el método de Hardy-Littlewood demostró ser muy fructífero en otros resultados, como el teorema de Vinogradov, que afirma que todo número entero positivo impar suficientemente grande puede escribirse como la suma de tres primos.

El tercer ejemplo es la prueba alternativa de Tim Gowers al Teorema de Szemerédi que afirma que todo subconjunto de los enteros positivos con densidad superior positiva contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas. Este avance, a saber, la introducción de las normas de uniformidad de Gowers, condujo finalmente al Teorema de Green-Tao, que demuestra la existencia de progresiones aritméticas arbitrariamente largas en los primos.

Así que me pregunto si existen otras incidencias (relacionadas con la teoría de los números o no) en las que una nueva demostración haya aportado realmente nuevos conocimientos legítimos, quizás incluso una demostración de un nuevo resultado (importante).

Edición: Me interesan sobre todo los ejemplos en los que una nueva prueba ha dado lugar a una nueva dirección en la investigación. La mejor forma de demostrarlo es mediante la demostración de un nuevo teorema importante utilizando técnicas inspiradas en la nueva demostración. Un ejemplo de algo que no me interesa es algo como la demostración de Donald Newman del teorema de los números primos, que aunque es elegante y "natural", como él dice, ha visto una generalización limitada a otras áreas y es difícil aplicar la misma técnica a otros problemas.

Answer 1

He aquí algunos ejemplos del siglo XIX.

1. Insolubilidad de la ecuación quíntica . Abel (1826) lo demostró con ingenio algebraico ingenio algebraico, pero sin aclarar los conceptos involucrados. Galois (1830) dio una prueba que introdujo los conceptos de grupo, subgrupo normal y solvencia (de grupos), sentando así las bases de la teoría de grupos y de la teoría de Galois.

2. Doble periodicidad de las funciones elípticas . Abel y Jacobi lo establecieron (década de 1820) principalmente mediante cálculos. Riemann (década de 1850) puso las funciones elípticas en una base conceptual clara al demostrar que la curva elíptica subyacente es un toro, y que los períodos corresponden a bucles independientes en el toro.

3. Teorema de Riemann-Roch . Riemann (1857) descubrió este teorema utilizando superficies de Riemann, pero aplicando una intuición física (el "principio de Dirichlet"). Este principio no se hizo riguroso hasta 1901. Mientras tanto, Dedekind y Weber (1882) dieron la primera demostración rigurosa y completa de Riemann-Roch reconstruyendo algebraicamente la teoría de las superficies de Riemann. En este proceso prepararon el camino para la geometría algebraica moderna.

Answer 2

Un ejemplo muy bonito en mi opinión es la prueba de Riemann-Roch de Serre:

A veces, uno no está satisfecho con las pruebas existentes y busca otras mejores, que puedan aplicarse en diferentes situaciones. Un ejemplo típico para mí fue cuando trabajé en el teorema de Riemann-Roch (hacia 1953), que consideraba una fórmula de "Euler-Poincare" (no sabía entonces que Kodaira-Spencer había tenido la misma idea). Pero quería una demostración en un estilo especial; y cuando conseguí encontrarla, recuerdo que no me llevó más de un minuto o dos pasar de ahí al caso bidimensional (que acababa de hacer Kodaira).

Se refiere, por supuesto, a las pruebas teóricas de la gavilla, que suelen presentarse hoy en día. Este fue el periodo en el que trabajó en FAC, GAGA y su teorema de dualidad, que revolucionó la geometría algebraica.

Answer 3

El ejemplo clásico de la física matemática es el de Richard Feynman Enfoque espacio-temporal de la mecánica cuántica no relativista (1948), que (en esencia) demostró que la función de Green de la ecuación de Schroedinger era igual a una integral de trayectoria. El artículo comienza:

Es un hecho histórico curioso que la mecánica cuántica moderna comenzó con dos formulaciones matemáticas bastante diferentes: la ecuación diferencial de Schroedinger, y el álgebra matricial de Heisenbert . [...] Este documento describirá lo que es esencialmente una tercera formulación de la teoría cuántica no relativista.

En cuanto al valor de buscar múltiples derivaciones, tenemos el discurso del Nobel de Feynman El desarrollo de la visión espacio-temporal de la electrodinámica cuántica (1965):

Siempre hay otra forma de decir lo mismo que no se parece en nada a la forma en que lo dijiste antes. No sé cuál es la razón de esto. Creo que de alguna manera es una representación de la simplicidad de la naturaleza. [...] Tal vez una cosa sea simple si se puede describir completamente de varias maneras diferentes sin saber inmediatamente que se está describiendo la misma cosa.

En un contexto clásico, tenemos a Saunders Mac Lane en Mecánica hamiltoniana y geometría (1970) que presenta nuevos análisis geométricos de antiguos problemas dinámicos:

Las ideas matemáticas no viven plenamente hasta que se presentan con claridad, y nunca llegamos a esa claridad final. Al igual que cada generación de historiadores debe analizar de nuevo el pasado, en las ciencias exactas debemos emprender en cada época la renovada lucha por presentar con la mayor claridad posible las ideas subyacentes de las matemáticas.

A mediados de la década de 1970, estas diversas derivaciones se reunieron como Fadeev y Popov (1974) Cuantificación covariante del campo gravitatorio que sentó las bases para el método actual de cuantificación BRST, para el que van Holten Aspectos de la cuantificación BRST (2002) es una buena revisión:

Muy a menudo, las ecuaciones dinámicas preferidas de un sistema físico no se formulan directamente en términos de grados de libertad observables, sino en términos de cantidades más primitivas [...] A partir de estas raíces ha surgido un marco elegante y potente para tratar clases bastante generales de sistemas restringidos utilizando ideas tomadas de la geometría algebraica.

Mediante este proceso de 90 años de sucesivas rederivaciones, hoy en día hemos llegado a una apreciación más casi global -que abarca tanto la dinámica clásica como la cuántica- de las ideas que el ensayo de Terry Tao ¿Qué es un medidor? discute.

La investigación de vanguardia en sistemas dinámicos clásicos, cuánticos e híbridos (cada vez más comunes) utiliza todos estos enfoques matemáticos, cada uno formalmente equivalente a todos los demás... pero con ideas muy diferentes detrás de ellos. La naturalidad resultante ha dado una nueva pasión al antiguo romance entre las matemáticas y la física.

Answer 4

Prueba supersimétrica de Witten del teorema del índice de Atiyah-Singer.

Answer 5

Si está interesado en algo que se espera que haga esto ( aquí con un documento relacionado aquí ), pero es un proyecto muy actual, está la prueba de Lazic de la generación finita de anillos (log) canónicos. No sé de ninguna gran idea obtenida de la nueva prueba, aparte del hecho sorprendente de que es POSIBLE demostrarlo de esta manera, y que el método, en lugar de requerir el programa de Mori para demostrar el teorema, permite una demostración de muchos teoremas importantes en el programa de Mori a partir de él. Sin embargo, se trata de un trabajo en curso.